Lo siento por mi excesiva verboseness...
He aquí la ecuación dada:
$$x = 10 + \sqrt{x^2 + y^2}$$
Aquí están mis directos implícito pasos sin modificar la ecuación original:
$$\eqalign{ \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(x\right)& = \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(10 + \sqrt{x^2 + y^2}\right)\\ \dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dx}& = \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(10 + \sqrt{x^2 + y^2}\right)\\ 1 &= \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(10 + \sqrt{x^2 + y^2}\right)\\ 1 &= \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(10\right) + \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)\\ 1 y = 0 + \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)\\ 1 &= \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)\\ 1 &= \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\left(x^2 + y^2\right)^{1/2}\right)\\ 1 &= \dfrac12 \left(x^2 + y^2\right)^{-1/2} \cdot\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(x^2 + y^2\right)\\ 1 &= \dfrac 1{2 \sqrt{x^2 + y^2}}\cdot\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(x^2 + y^2\right)\\ 1 &= \dfrac 1{2 \sqrt{x^2 + y^2}}\cdot\left(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(x^2\right) + \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(y^2\right)\right)\\ 1 &= \dfrac 1{2 \sqrt{x^2 + y^2}}\cdot\left(2x\cdot\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(x\right) + 2y\cdot\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left y\right)\right)\\ 1 &= \dfrac 1{2 \sqrt{x^2 + y^2}}\cdot\left(2x\cdot\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dx} + 2y\cdot\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)\\ 1 &= \dfrac 1{2 \sqrt{x^2 + y^2}}\cdot\left(2x + 2y\cdot\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)\\ 1 &= \dfrac {2x}{2 \sqrt{x^2 + y^2}} + \dfrac {2y}{2 \sqrt{x^2 + y^2}}\cdot\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\\ 1 &=\dfrac x{\sqrt{x^2 + y^2}}+ \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\cdot\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\\ 1 -\dfrac x{\sqrt{x^2 + y^2}} &= \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\cdot\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\\ \sqrt{x^2 + y^2}\cdot\left(1 - \dfrac x{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) y= y\cdot\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\\ \sqrt{x^2 + y^2} - \dfrac{x\cdot\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}} &= y\cdot\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\\ \sqrt{x^2 + y^2} - x y= y\cdot\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\\ \left[\dfrac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}y\right] &= \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}}$$
Este resultado coincide con http://symbolab.com
Sin embargo, Wolfram da:
$$\frac{dy}{dx}= \frac{-10}y$$
En un esfuerzo para llegar a Wolfram resultado, he intentado aislar y primera:
$$\eqalign{ x y= 10 + \sqrt{x^2 + y^2}\\ 10 + \sqrt{x^2 + y^2} &= x\\ \sqrt{x^2 + y^2} &= x - 10\\ \sqrt{x^2 + y^2}^2 &= \left(x - 10\right)^2\\ \sqrt{x^2 + y^2}^2 &= \left(x - 10\right)\left(x - 10\right)\\ \sqrt{x^2 + y^2}^2 y= x^2 - 20x + 100\\ x^2 + y^2 y= x^2 - 20x + 100\\ y^2 y= x^2 - 20x + 100 - x^2\\ y^2 &= -20x + 100}$$
Supongo que el siguiente paso podría ser problemático, por no tomar $\pm\sqrt n$ en cuenta.
$$\eqalign{y y= \sqrt{-20x + 100}\\ &= \left(-20x + 100\right)^{1/2}}$$
Procedimiento para implícito derivado de procesamiento:
$$\eqalign{ \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left y\right) &= \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\left(-20x + 100\right)^{1/2}\right)\\ \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &= \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\left(-20x + 100\right)^{1/2}\right)\\ \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &= \dfrac12 \cdot\left(-20x + 100\right)^{-1/2}\cdot\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(-20x + 100\right)\\ \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &= \dfrac1{2\sqrt{-20x + 100}}\cdot\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(-20x + 100\right)\\ \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &= \dfrac1{2\sqrt{-20x + 100}}\cdot\left(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(-20x\right) + \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(100\right)\right)\\ \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &= \dfrac1{2\sqrt{-20x + 100}}\cdot\left(20\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(x\right) + 0\right)\\ \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &= \dfrac1{2\sqrt{-20x + 100}}\cdot\left(20\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dx}\right)\\ \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &= \dfrac1{2\sqrt{-20x + 100}}\cdot20\\ \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &= \dfrac{20}{2\sqrt{-20x + 100}}\\ \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &= \dfrac{10}{\sqrt{-20x + 100}}}$$
No estoy seguro de si estas próxima $\left(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2$ pasos son permitidos, pero se ha traducido en un simple resultado, incluso a pesar de que nunca coincidía con la de Wolfram resultado:
$$\eqalign{ \left(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2 &= \left(\dfrac{10}{\sqrt{-20x + 100}}\right)^2\\ \left(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2 &= \dfrac{10^2}{\sqrt{-20x + 100}^2}\\ \left(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2 &= \dfrac{100}{-20x + 100}\\ \left(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2 &= \dfrac{100}{-20\left(x + 5\right)}\\ \left(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2 &= -\dfrac5{x + 5}\\ \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx} &= \sqrt{-\dfrac5{x + 5}}}$$
No importa lo que intente, no puedo entender en absoluto cómo Wolfram tiene un simple resultado.
Por lo que es la verdadera derivados, y el enfoque adecuado?
