Primero observe que para cada $\epsilon > 0$ existen números racionales $p,q > 0$$p<\epsilon$$p^2 + q^2 = 1$. Esto es sólo una consecuencia bien conocida de las fórmulas para la construcción de ternas Pitagóricas. E. g., podemos elegir
$$
p = \frac{2n+1}{n^2 + (n+1)^2} \quad \text{ y } q = \frac{2n(n+1)}{n^2 + (n+1)^2}
$$
para $n \in \mathbb{N}$ lo suficientemente grande. Para estas parejas definimos asociada una matriz de rotación
$$
A_p = \begin{bmatrix} q & p \\ -p & q
\end{bmatrix}.
$$
La asunción en el problema significa que la función
$$
F(x,y) = f(x) f(y)
$$
es limitado en algunos arc $I$ del círculo unitario $x^2 + y^2 = 1$.
Ahora si $(x,y)$ es arbitrario y $A_p$ es un racional matriz de rotación como el de arriba, a continuación identificación de la matriz y la inducida por lineal mapa)
\begin{align*}
F(A_p(x,y)) &= F(qx + py, -px + qy) = f(qx+py) f(-px+qy) \\
&= (qf(x)+ pf(y)) (-pf(x) + qf(y)) \\
&= qp(f(y)^2 - f(x)^2) + (q^2 - p^2) f(x)f(y),
\end{align*}
donde hemos utilizado la (demostrado fácilmente) el hecho de que $f$ es lineal en los números racionales.
Ahora podemos arreglar un pequeño subarc $J$$I$, y una racional matriz de rotación $A_p$ $p>0$ tal que $A_p(J) \subset I$. (Esto es posible porque el argumento en el primer párrafo podemos encontrar $A_p$ arbitrariamente cerca de la identidad.) Para $(x,y) \in J$ el cálculo anterior implica entonces que
$$
f(y)^2 - f(x)^2 = \frac{F(A_p(x,y))}{qp} - \frac{(q^2 - p^2) F(x,y)}{qp}
$$
de modo que $f(y)^2 - f(x)^2$ está delimitada en $J$. Desde $f(x)f(y)$ es también limitado en $J$, se deduce que el $(f(y)+if(x))^2 = f(y)^2 - f(x)^2 + 2i f(x)f(y)$ está delimitada en $J$, por lo que el $f$ es limitado en las proyecciones de $J$ para ambos ejes de coordenadas. Como se indica en la pregunta, local acotamiento de $f$ implica la continuidad.
