Si $X$ es topológico, separable espacio, a continuación, cada conjunto abierto es una unión de un contable número de abrir las pelotas?

Question

Estoy estudiando algunos análisis real (estoy en la parte antes de definir Borel $\sigma$-álgebra) y hay un recordatorio en mis notas de la conferencia que indica que si $X$ es un espacio métrico separable, a continuación, cada abierto es una unión de un contable número de bolas (donde separables se define como una contables subconjunto denso).

Podemos eliminar el requisito de que $X$ es la métrica ?

Para ser honesto, Yo no sé realmente la prueba, incluso con requiriendo que $X$ es la métrica, Supongo que nos movemos desde cualquier unión a una contables de la unión mediante el uso de de alguna manera el hecho de que cada abierto de bolas tienen un elemento en la densa conjunto, esto es lo que me llevó a creer que la reclamación no tiene mucho que ver con $X$ métrica.

Así que hay dos preguntas aquí, es cierto para cualquier espacio topológico y ¿cómo podemos demostrar esta afirmación ?

Answer 1

Para la prueba, considere la posibilidad de un punto de $x$ en un abrir subconjunto $U$, entonces no es una bola de $B_\epsilon$ alrededor de ella $\subseteq U$, y luego mirar una bola más pequeña alrededor de $x$, $B_{\epsilon/2}$, elija un punto de $d$ $B_{\epsilon/2}\cap D$ donde $D$ es el contable denso, entonces considere el $B_{\epsilon/2}(d)$, contiene $x$.

Y un truco más, elija $\epsilon\in\Bbb Q$.

Parece que esta prueba podría ser generalizado a un tipo generalizado de espacio métrico en el sentido de que el espacio de distancias, $\Bbb R$ se sustituye a otra cosa (supongo que algo como topológica cancelables conmutativa semigroup), pero sigue teniendo una contables subconjunto denso.

Answer 2

El punto es que es $X$ es la métrica, entonces la familia de abrir bolas constituye una base para la topología. Si $X$ es adicional separable, luego por la adopción de abrir las bolas de radio $\frac{1}{n}$ ($n \in \mathbb{N}$) centrada en los elementos de una contables subconjunto denso, esta familia es también una base para la topología. Al final, la prueba se basa en el hecho de que separables métrica espacios son de segunda contables.

En cierto sentido, la condición de "separarse" métrica puede ser reemplazada por cualquier propiedad de asegurar la segunda countability. Este procede de la siguiente

Hecho: Si $X$ es de segunda contables espacio topológico, y $\mathcal{B}$ es cualquier base para la topología en $X$, entonces no es un contable de la subfamilia $\mathcal{B}_0 \subseteq \mathcal{B}$ que es también una base para la topología.

Así, mediante la sustitución de "separarse métrica" por "segundo-contables" y abrir "bolas" por "abrir establece en algunos pre-determinado de la base" se obtiene un resultado similar.

Answer 3

Berci ha señalado en un comentario que, para hablar de abrir las pelotas, una de las necesidades de una métrica; no existe la noción de bola en general de un espacio topológico. También valdría la pena señalar que, en separables métrica espacios, uno tiene más propiedad que no es un contable de la familia de abrir bolas (es decir, aquellos con racional de los radios y los centros en un determinado contables denso conjunto) de tal forma que cada conjunto abierto es una unión de una subfamilia de esta particular familia. Uno podría tratar de generalizar esta última observación por preguntar si, en un separables topológica del espacio, debe ser una contables de la familia $\mathcal B$ de abrir conjuntos tales que cada conjunto abierto es la unión de una subfamilia de $\mathcal B$. Esta propiedad de un espacio que se llama el segundo axioma de countability (y estos espacios son llamados de segunda contables), y se sabe que no a seguir a partir de divisibilidad. Tal vez la mejor contraejemplo es el producto (con el producto habitual de la topología) de $\kappa$ copias de un 2 elementos discretos en el espacio. Esta es divisible por todos los números cardinales $\kappa$ hasta e incluyendo la cardinalidad del continuo (y no a la de la mayor $\kappa$), pero es de segunda contables sólo para contables $\kappa$.

Algunos tangencial comentarios: en Lugar de generalizar la observación de que empecé con una forma similar podría tratar de generalizar el original, más débiles de la instrucción: Debe ser una familia $\mathcal B$ de abrir conjuntos tales que cada conjunto abierto es una unión de una subfamilia? Por desgracia, esta generalización es tonto; la respuesta es trivialmente afirmativa (si o no el espacio es divisible), ya que sólo se puede dar $\mathcal B$ a contener todos los bloques abiertos.

Aunque he descrito lo que considero la "más bonita" contraejemplo anterior, debo admitir que mi favorito personal es otro contraejemplo: la de Stone-Cech compactification de un countably infinito espacio discreto.

Por último, quiero recalcar que, aunque ahora soy un ciudadano de la tercera edad, terrible terminología como "de primera" y "segunda-contables", "primera" y "segunda categoría", fue todo mucho antes de que me enteré de esto. Oficialmente, declinamos cualquier responsabilidad.