Positivo

Question

Encontrar todos los enteros positivos $x,y,z$ que satisfacer $$2^x=3^y7^z+1$$.

Creo que el $(x,y,z)=(6,2,1)$ es la única solución, Pero ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Si permitimos $y$ $z$ a ser cero, esto puede ser reformulada como:

Para que los enteros positivos $x$ $2^{x} - 1$ no es divisible por ningún primer distinta de $3$ o $7$?

Llame a el conjunto de los números enteros $S$.

Supongamos $x \in S$. Si $t$ divide $x$, $2^{t} - 1$ divide $2^{x} - 1$, lo $t \in S$.

$3$ divide $2^{x} - 1$ fib $x$ es aún, y $7$ divide $2^{x} - 1$ fib $x$ es divisible por 3. Así que podemos ver que si $x \in S$, debemos tener bien $x$ a, $x$ divisible por 3, o $2^{x} - 1 = 1$, es decir,$x = 1$.

Entonces si $x \in S$ tiene un factor primo $p$, $p \in S$, por lo tanto, debemos tener $p = 2$ o $p = 3$.

Por último, vemos a $2^{4} - 1 = 15$$2^{9} - 1 = 511$, por lo tanto $4$ $9$ no $S$, de modo que ningún elemento de la $S$ es divisible por $4$ o $9$. El único resto de enteros se $1,2,3,6$. Podemos comprobar $2^{1} - 1 = 1$, $2^{2} - 1 = 3$, $2^{3} - 1 = 7$, y $2^{6} - 1 = 63 = 3^{2} \cdot 7$. Por lo $S = \{1,2,3,6\}$.

Finalmente, $x = 6$ es el único que da $y,z$ positivo.

Answer 2

Tenemos que mostrar que para $x\ge 7$, el número de $2^x-1$ tiene un divisor primo diferente de$3$$7$.

Si $x$ tiene un primer factor de $p\ge 5$, $2^p-1$ divide $2^x-1$ y todos los factores primos de a $2^p-1$ debe ser de la forma $2kp+1$, por lo tanto, no debe ser un factor primo mayor que $7$.

De lo contrario, $x$ debe ser divisible por $4$ o $9$ , por lo tanto $2^4-1$ o $2^9-1$ debe dividir $2^x-1$. Esto implica que $5$ o $73$ debe ser un factor primordial. Desde $x<6$ da ninguna solución, en el hecho de $x=6$ es el único.

Answer 3

La ecuación de $2^x=m 3^y7^z+1$ puede tener un número infinito de soluciones;

Utilizamos Fermat poco teorema; para los números primos p y q, podemos escribir:

$2^{p-1} ≡ 1 \ mod p$ ⇒ $2^{ k p}≡ 1 \mod p$

$2^{q-1} ≡ 1 \ mod q $⇒ $2^{k q}≡ 1 \mod q$

Si $p=7 $ tenemos:

$2^{7-1}=2^6 ≡ 1 \ mod 7$ ⇒ $2^{6 k_1}≡ 1 \mod 7$

Para $p=3$ tenemos:

$2^{3-1}=2^2 ≡ 1 \mod 3$ ⇒ $2^{2 k_2}≡ 1 \mod 3$

Por lo tanto:

$2^{6k}≡ 1 \mod 3\times 7$

Que es un conjunto de soluciones para la ecuación de $2^x=m 3^y7^z+1$: $(x, y, z)=(6k, 1, 1); k ∈ N$

También podemos ver que $2^{6k}≡ 1 \mod 3^2 \times 7$, que es otro conjunto de soluciones de la ecuación de $2^x=m 3^y7^z+1$:$(x, y, z)=(6k, 2, 1); k ∈ N$

Aquí m=1, entonces la ecuación es $2^x= 3^y7^z+1$, el valor mínimo de x es al $k=1$ $x=6$ y tenemos:

$2^6 -1 =3^y 7^z$ que su única solución es:(x,y,z)=(6,2,1) que es un miembro de la segunda serie de soluciones.

Answer 4

He encontrado otra solución, no sé si hay algún lugar en la respuesta equivocada, por Favor comente. Pero no entiendo el amarillo, ¿por qué considerar sólo a $ k = 3n $$ k = 7n $, lo que acerca el otro caso? Por ejemplo, $ k = 3n + 1, k = 3n + 2 $...?

Answer 5

Mirando la ecuación mod $7$ vemos que $2^x = 1 \pmod 7$, lo que significa $3 \mid x$ del teorema de Lagrange. Mirando la ecuación mod $3$ vemos que $(-1)^x = 1 \pmod 3$ $x$ es incluso.

Por lo tanto, no es un número entero positivo $k$ tal que $x = 6k$.

Escribir la ecuación como $2^{6k} = 3^y7^z + 1$, que también se puede escribir como $(2^k-1)(2^k+1)(2^{2k}+2^k+1)(2^{2k}-2^k+1)= 3^y7^z$
obtenidos por la factorización del polinomio $X^6 - 1$.

Si $k \gt 0$, entonces:
$\gcd(2^k - 1, 2^k + 1) = \gcd(2^k + 1, 2) = 1$,
$\gcd(2^k-1, 2^{2k}-2^k+1) = \gcd(2^k - 1, 2^{2k}) = 1$, y
$\gcd(2^k+1, 2^{2k}-2^k+1) = \gcd(2^k+1, 2^{k+1}-1) = \gcd(2^k + 1, 3) = 1$ o $3$.

Tenga en cuenta que si todos los $3$ de las parejas se coprime, a continuación, uno de $2^k-1$, $2^k+1$ o $2^{2k}-2^k+1$ tendría que ser igual a $1$ desde $3^y7^z$ tiene sólo dos distintos factores primos. Pero para $k \gt 0$ los dos últimos son siempre mayores que $1$, por lo que tenemos $2^k-1 = 1$ o $k = 1$.

Esto le da a $x = 6$ $3^y7^z = 3\cdot7\cdot3 = 3^27^1$ así obtenemos $(x, y, z) = (6, 2, 1)$.

Por otra parte tenemos a $\gcd(2^k + 1, 2^{2k} - 2^k + 1) = \gcd(2^k + 1, 3) = 3$, en cuyo caso podemos dividir por $3^2$ obtener $(2^k-1)\frac{2^k+1}{3}(2^{2k}+2^k+1)\frac{2^{2k}-2^k+1}{3} = 3^{y-2}7^z$ donde ahora $2^k-1$, $\frac{2^k+1}{3}$ y $\frac{2^{2k}-2^k+1}{3}$ son parejas coprime.

Procediendo como en el anterior, esto significa que uno de ellos debe ser uno. Ya vimos el caso de $k = 1$ previamente, y que no hay otras maneras de hacer estas igual a $1$.