Mostrar que el conjunto de no-$\beta$-Hölder funciones es denso en el espacio de $\alpha$-Hölder función, $0<\alpha<\beta<1$

Question

Quiero mostrar que la $C^\alpha([0,1]) \setminus C^\beta([0,1])$ es denso en $C^\alpha([0,1])$ donde $0<\alpha<\beta<1$.

Sé que puedo demostrar que $C^\beta$ es no denso aquí, utilizando la función de $x^\alpha$. Para demostrar que el complemento es denso, teniendo en cuenta algunas de función $f \in C^\alpha$$\epsilon > 0$, creo que puede utilizar la función de $f+\iota W$ donde $\iota < \epsilon$ es elegido de manera que $f+\iota W \in C^\alpha$ pero $f+\iota W \notin C^\beta$ donde $W$ es de Weierstrass' "diente de sierra" de la función.

Estoy teniendo un tiempo difícil haciendo esta idea riguroso sin embargo, y me preguntaba si hay alguna fáciles maneras de proceder.

Answer 1

Deje $f\in C^\alpha.$ queremos encontrar una secuencia $f_n$ $C^\alpha \setminus C^\beta$ tal que $f_n \to f$ $C^\alpha.$ Si $f\notin C^\beta,$, se puede tomar $f_n=f$ por cada $n.$ Si $f\in C^\beta,$ definir $f_n(x) = f(x) + x^\alpha/n, n=1,2,\dots$, a Continuación, cada una de las $f_n\in C^\alpha,$ $f_n\to f$ $C^\alpha.$ sin Embargo $f_n\notin C^\beta$ por cada $n.$ Para ver esto, observe que para una fija $n$ pequeñas y $h>0,$

$$\tag 1\frac{f_n(h)-f_n(0)}{h^\beta} = \frac{f(h)-f(0)}{h^\beta} + \frac{1}{n}\frac{h^\alpha}{h^\beta}.$$

Debido a $f\in C^\beta,$ la primera fracción de la derecha de $(1)$ se queda delimitada como $h\to 0^+,$, mientras que la segunda fracción $\to \infty.$, con Lo que el lado izquierdo de $(1) \to \infty.$ por lo tanto todos los $f_n\notin C^\beta$ como se afirma, y hemos terminado.

Answer 2

Su idea es aproximadamente correcto, sin embargo el problema no está en la elección de un pequeño suficientemente $\iota$, pero el de la derecha (Weierstrass) la función $W$. Escribir el Hölder-seminorm como $$[f]_\alpha := \sup_{x,y\in [0,1]} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}.$$ A continuación, $f \in C^\alpha$ fib $[f]_\alpha < \infty$.

Así que si nos encontramos con una función de $W$, en $C^\alpha$, pero no en $C^\beta$, que podemos usar en la siguiente forma: Vamos a $f\in C^\alpha$. A continuación, cualquiera de $f\notin C^\beta$ (en cuyo caso no es necesario aproximar el) o $f\in C^\beta$. En el último caso, tenemos por cualquier $\iota \in \mathbb{R}$ que $f+\iota W \in C^\alpha$ con $$[(f+\iota W) - f]_\alpha = |\iota| [W]_\alpha \stackrel{\iota \to 0}{\to} 0$$ así como (mediante el inverso del triángulo de la desigualdad y la división de la supremum) $$[f+\iota W]_\beta \geq |\iota|\sup_{x,y\in [0,1]} \frac{|W(x)- W(y)|}{|x-y|^\beta}-\sup_{x,y\in [0,1]} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\beta} = |\iota| [W]_\beta - [f]_\beta = \infty.$$ para $\iota \neq 0$. Esto ya es suficiente para ver que $f+\iota W \in C^\alpha \setminus C^\beta$ aproxima $f$.

El punto aquí es que la Hölder-la continuidad de la $f+\iota W$ es independiente de $\iota$ (aparte de la anatomía patológica elección de $\iota = 0$), como sumas de $C^\alpha$ funciones son en sí mismos $C^\alpha$. De hecho, el de arriba puede incluso mostrar que si $f\in C^\alpha$$g \in C^\beta$, pero no superior, a continuación,$f \in C^{\min(\alpha,\beta)}$, pero no superior ( $\alpha \neq \beta$ , curiosamente, si ambos son el mismo, se puede cancelar).

Ahora para terminar su idea, la de Weierstrass función de algunos parámetros de ajuste, que por suerte puede ser elegido tal que $W$ es exactamente $C^\alpha$, pero no $C^\beta$.