Si $X$ $Y$ son independientes de variables Normales, cada uno con media cero, $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ es también una variable Normal

Question

Estoy tratando de probar la declaración:

Si $X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$ $Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$ son independientes de las variables aleatorias,

a continuación, $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ es también una variable aleatoria Normal.

Para el caso especial $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ (por ejemplo), tenemos el conocido resultado de que $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$ siempre $X$ $Y$ son independientes $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ variables. De hecho, es más generalmente conocido que $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ son independientes $\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$ variables.

Una prueba de que el último resultado de la siguiente manera mediante la transformación de $(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$ donde$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$$u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$. En efecto, aquí la $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$$V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$. Traté de imitar esta prueba para el problema en la mano, pero parece un poco lioso.

Si no he hecho ningún error, entonces para $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ termino con la articulación de la densidad de $(U,V)$

$$f_{U,V}(u,v)=\frac{2}{\sigma_1\sigma_2\pi}\exp\left[-\sqrt{u^2+v^2}\left(\frac{\sqrt{u^2+v^2}+v}{\sigma_1^2}+\frac{\sqrt{u^2+v^2}-v}{\sigma_2^2}\right)\right]$$

Tengo el multiplicador $2$ por encima como la transformación no es uno-a-uno.

De modo que la densidad de $U$ estaría dado por $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$, que no es fácilmente evaluados.

Ahora me interesa saber si existe una prueba donde sólo puedo trabajar con $U$ y no tienen a considerar algunas de las $V$ que $U$ es Normal. Encontrar el CDF de $U$ no parece tan prometedor para mí en este momento. También me gustaría hacer lo mismo para el caso de $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$.

Es decir, si $X$ $Y$ son independientes $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ variables, a continuación, quiero demostrar que $Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ sin el uso de un cambio de variables. Si de alguna manera puedo argumentar que $Z\stackrel{d}{=}X$, entonces estoy hecho. Por lo tanto, dos preguntas aquí, el caso general y, a continuación, el caso particular.

Mensajes relacionados con las Matemáticas.S.E:

$X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ al $X,Y\sim N(0,1)$ de forma independiente.

Dado que el $X,Y$ son yo.yo.d. $N(0,1)$ , muestran que $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ son yo.yo.d. $N(0,\frac{1}{4})$.

Edit.

Este problema es, de hecho, debido a la L. Shepp como me enteré en los ejercicios de Introducción a la Teoría de la Probabilidad y Sus Aplicaciones (Vol. II) por Feller, junto a una posible sugerencia:

Seguramente, $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$ y tengo la densidad de $\frac{1}{X^2}$ a mano.

Vamos a ver qué podía hacer ahora. Aparte de esto, un poco de ayuda con la integral anterior también es bienvenida.

Answer 1

La original solución del problema por Shepp utiliza el concepto de la estabilidad de la ley de propiedad, que parece un poco avanzado para mí en este momento. Así que yo no podía comprender la sugerencia dada en el ejercicio que he citado en mi post. Supongo que una prueba que implican sólo la única variable $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ y no mediante un cambio de variables es difícil llegar. Así que comparto tres de acceso abierto papeles he encontrado que proporcionan una solución alternativa para el problema:

• Una nota sobre las funciones Normales de la Normal de variables aleatorias

• Normal de las funciones de variables aleatorias Normales

• Un Resultado de Shepp

El primero me ha convencido de no ir por el camino de la integración tomé con la elección de la variable $V$ a derivar la densidad de $U$. Es el tercer trabajo que se ve como algo que puede seguir. Doy un breve esbozo de la prueba aquí:

Podemos suponer sin pérdida de generalidad $\sigma_1^2=1$, y establecer $\sigma_2^2=\sigma^2$. Ahora toma nota de que el $X^2\sim\chi^2_1$ $\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$ son independientes, tenemos el conjunto de la densidad de $(X^2,Y^2)$. Se denota por a $f_{X^2,Y^2}$.

Considere la posibilidad de la transformación de $(X^2,Y^2)\to(W,Z)$ tal que $W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$$Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$. Así que tenemos el conjunto de la densidad de $(W,Z)$. Deje que nos denota por $f_{W,Z}$. Siguiendo el procedimiento estándar, integramos $f_{W,Z}$ wrt a $z$ para obtener la densidad marginal $f_W$$W$.

Nos encontramos con que $W=U^2$ es una de la variable aleatoria Gamma con parámetros de $\frac{1}{2}$$2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$, por lo que el $(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$. Tomamos nota de que la densidad de $U$ es simétrico con respecto al $0$. Esto implica que $(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$, y, por tanto,$U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$.