¿Podemos demostrar $\sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1$ usando solo sus series?

Question

Específicamente me refiero a:

$$\sin(x)^2 + \cos(x)^2$$

$$=\left(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)^2 + \left(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)^2$$

Sin embargo, no estoy seguro de cómo se supone que debes expandir y recombinar términos correctamente al tratar con la suma de dos series al cuadrado, especialmente cuando hay factoriales involucrados.

Editar: Para ser claro, estoy preguntando sobre cómo manipular las series que acabo de mencionar para demostrar que suman a $1$.

Answer 1

Absolutamente. Las series de potencias en realidad se multiplican igual que lo hacen los polinomios: $$(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots)(b_0+b_1x+b_2x^2+\ldots)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{c=0}^na_cb_{n-c}\right)x^n.$$

Sea $$\alpha(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)^2$$ $$\beta(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)^2.$$ Primero, es claro que el término constante de $\alpha(x)+\beta(x)$ es de hecho $1$, como podemos verificar directamente. Por lo tanto, simplemente necesitamos verificar que cada otro coeficiente se anule.

Observa que, ya sea a partir de la fórmula para productos o al notar que ambos son funciones pares, todos los coeficientes de potencias impares de $x$ tanto en $\alpha$ como en $\beta$, y por lo tanto en $\alpha+\beta$, se anulan. Ahora, considera el coeficiente de $x^{2n}$ en cualquiera de ellos. En $\beta$, la fórmula da el coeficiente de $x^{2n}$ como, donde usamos la variable $k$ para contar solo los coeficientes pares (no nulos) de $\cos(x)$: $$\sum_{k=0}^n(-1)^c\cdot (-1)^{n-k}\cdot \frac{1}{(2n-2k)!}\cdot \frac{1}{(2k)!}=(-1)^n\cdot \sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k)!(2n-2k)!}.$$ Lo mismo se puede hacer para encontrar el coeficiente de $x^{2n}$ en $\alpha$, usando $k$ para enumerar los coeficientes impares de $\sin(x)$: $$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cdot (-1)^{n-k-1}\cdot \frac{1}{(2n-2k-1)!}\cdot \frac{1}{(2k+1)!}=(-1)^{n-1}\cdot \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(2k+1)!(2n-2k-1)!}.$$ Estamos intentando mostrar que el coeficiente de $x^n$ en $\alpha+\beta$ es cero para $n>0$. Esto equivale a mostrar la siguiente igualdad para todo $n>0$: $$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(2k+1)!(2n-2k-1)!}=\sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k)!(2n-2k)!}.$$ Al multiplicar ambos lados por $(2n)!$, esto se reduce a una igualdad combinatoria: $$\sum_{k=0}^{n-1}{2n\choose 2k+1} = \sum_{k=0}^n{2n\choose 2k}.$$ Esto simplemente dice que el número de subconjuntos de $2n$ con un número impar de elementos es igual al número de subconjuntos de $2n$ con un número par de elementos, pero esto es fácil de mostrar: Podemos definir una biyección $\pi$ que tome un conjunto $S\subseteq \{1,\ldots,2n\}$ y lo lleve a $S\cup \{1\}$ si $1\not\in S$ y a $S\setminus \{1\}$ si $1\in S$. Esto coloca conjuntos de paridad impar y par en biyección, mostrando la igualdad deseada.

Answer 2

Tenga en cuenta que solo utilizando su serie

$$\sin^2 x + \cos^2 x=(\cos x+i\sin x)(\cos x-i\sin x)\stackrel{\text{por series}}=e^{ix}e^{-ix}=1$$

Answer 3

Probándolo por mi cuenta utilizando algunos puntos hechos en la publicación de Milo (no voy a aceptar mi propia respuesta, esto es solo para mi propio beneficio):

$$\sin(x)^2 + \cos(x)^2$$

$$=\left(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)^2 + \left(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)^2$$

$$=\left(\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\frac{x^{2n-2k+1}}{(2n-2k+1)!}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right) + \left(\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\frac{x^{2n-2k}}{(2n-2k)!}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}\right)$$

$$=\left(\sum_{n=1}^\infty x^{2n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-2k-1)!(2k+1)!}\right) + \left(1+\sum_{n=1}^\infty x^{2n}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^n}{(2n-2k)!(2k)!}\right)$$

$$=1 + \sum_{n=1}^\infty x^{2n}(-1)^{n-1}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(2n-2k-1)!(2k+1)!} - \sum_{k=0}^n\frac{1}{(2n-2k)!(2k)!}\right)$$

$$=1 + \sum_{n=1}^\infty x^{2n}(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n)!}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n}{2k+1} - \sum_{k=0}^n\binom{2n}{2k}\right)$$

$$=1 + \sum_{n=1}^\infty x^{2n}(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n)!}\left(2^{2n-1} - 2^{2n-1}\right)$$

$$=1$$

Answer 4

El resultado esencial aquí es que $e^z e^{-z} = 1$ (cf. respuesta de gimusi).

En general, para $x$ con el radio de convergencia de las series $\sum_k a_k z^k$ y $\sum_k b_k z^k$, un poco de trabajo muestra que $(\sum_k a_k z^k) (\sum_k b_k z^k) = \sum_k c_k z^k$, donde $c_k = \sum_l a_l b_{k-l}$ (la convolución de series).

En el caso anterior, se toma $a_k = {1 \over k!}, b_k = (-1)^k {1 \over k!}$ para $k \ge 0$, y cero en otro caso. Entonces $c_k = 0$ para $k <0$, $c_0 = 1$ y para $k >0$, tenemos $c_k = \sum_{l=0}^k {1 \over k!} (-1)^{k-l} {1 \over (l-k)!} = \sum_{l=0}^k (-1)^{k-l} \binom{k}{l} {1 \over k!} = (1-1)^k {1 \over k!} = 0.

Por lo tanto $e^z e^{-z} = 1$.

Entonces $\cos^2 x + \sin^2 x =(\cos x + i \sin x) (\cos x - i \sin x) = e^{ix} e^{-ix} = 1$.