¿Cuáles son todos los grupos finitos de tal manera que todos isomorfo subgrupos son idénticos?

Question

No es un simple argumento que muestra que cualquiera de los dos subgrupos de un grupo cíclico que son isomorfos deben ser idénticos. Esto es debido a que cada uno puede ser representado en términos de que el generador de la cíclico grupo.

Esto me hizo preguntarme, ¿cuáles son todos los grupos finitos con la propiedad de que cualquiera de los dos isomorfo subgrupos son idénticos? Mi conjetura es que todos ellos deben ser cíclica. Es esto correcto?

Answer 1

Deje $G$ ser un grupo finito con esta propiedad. Deje $a\in G$ y deje $a$ tienen orden de $k$. Entonces cada elemento de orden $k$ $G$ genera $\left<a\right>$. Así que hay exactamente $\varphi(k)$ elementos de orden $k$$G$. Así, para cada $k$, $G$ ha $0$ o $\varphi(k)$ elementos de orden $k$.

Deje $|G|=n$. A continuación, para cada una de las $k$ para las que no hay elementos de orden $k$ en $G$,$k\mid n$. Pero $n=\sum_{k\mid n}\varphi(k)$. Si para algunos $k\mid n$ no hay elementos de orden $k$$G$, el total de la número de elementos en $G$$<n$, lo cual es imposible.

En particular, $G$ tiene un elemento de orden $n$. Por lo tanto $G$ es cíclico.

Answer 2

A partir de los comentarios, aquí es una breve respuesta.

Como se ha señalado, cualquier excepción a la conjetura debe ser un grupo que no es abelian /y/ tiene cada subgrupo normal.

Esto significa que el grupo tiene la propiedad de ser un grupo de Dedekind. En particular, hay un resultado que el grupo de cuaterniones $Q_8$ es un subgrupo de todos esos grupos. Los cuaterniones grupo de 6 elementos de orden cuatro, que no puede pertenecer a un único grupo cíclico de orden cuatro.

Llegamos a la conclusión de tal excepción no es posible.

Esto depende en gran medida de las propiedades de un grupo de Dedekind, que no tengo ninguna visión. La mejor respuesta sería muy apreciada.