Un enfoque diferente, más abstracto:
Obsérvese que las fórmulas dadas sólo tienen sentido si $x\ge0$ . Obsérvese también que las funciones $\Phi(x)=\sin^2(\sqrt x\,)$ y $\Psi(x)=\sin x$ se dan como conjugados, mediante la función $\alpha(x)=x^2$ Eso es, $\Phi=\alpha\circ\Psi\circ\alpha^{-1}$ . Las funciones que encontró fueron $f=\alpha\circ\Psi$ y $g=\alpha^{-1}$ . Entonces $f\circ g=\alpha\circ\Psi\circ\alpha^{-1}=\Phi$ y $g\circ f=\alpha^{-1}\circ\alpha\circ\Psi=\Psi$ .
Está claro, pues, que podemos sustituir nuestro $\alpha$ por $\bar\alpha=\alpha\circ\psi$ para cualquier $\psi$ desplazamientos con $\Psi$ porque entonces $\bar f=\bar\alpha\circ\Psi$ y $\bar g={\bar\alpha}^{-1}$ tendrá $\bar f\circ\bar g=\alpha\circ\psi\circ\Psi\circ\psi^{-1}\circ\alpha^{-1}=\Phi$ y $\bar g\circ\bar f=\psi^{-1}\circ\alpha^{-1}\circ\alpha\circ\psi\circ\Psi=\Psi$ .
Las funciones que conmutan con $\sin$ son escasas, pero entre ellas se encuentran $\sin$ y $\arcsin$ así que tenemos:
Ejemplo 1 : $f=\sin^2(\sin(x))$ , $g=(\alpha\circ\sin)^{-1}=\arcsin(\sqrt x\,)$ .
Ejemplo 2 : $f=x^2$ , $g=\sin(\sqrt x\,)$ . Esta es la respuesta que todos deberíamos haber visto, pero me costó mucho trabajo.
Por supuesto, puede utilizar $\psi=\sin^{\circ n}$ donde eso significa iterar el seno $n$ veces, o el $(-n)$ -iteración doble de $\arcsin$ si $n$ es negativo, dando otra familia infinita diferente de soluciones.
0 votos
La pregunta es buena, nunca pensé en otra posibilidad...
0 votos
¿Tiene en mente dominios y codominios específicos?
0 votos
Sea $a(x)=\sin^2\sqrt x$ y $b(x)=\lvert\sin x\rvert$ . Entonces $a\circ f=f\circ b$ y $g\circ a=b\circ g$ . No estoy seguro de adónde ir a partir de ahí, pero al menos cada ecuación contiene sólo una función desconocida.
0 votos
Estoy seguro de que existen infinitas funciones de este tipo pero lo dejaré como una hipotesis ya que no puedo demostrarlo.
0 votos
@ArnaudD. No tengo ningún Co dominio/ dominio específico para f y g
0 votos
@gimusi puedes dar algunos ejemplos
0 votos
¡@Makar RobertZ acaba de dar un ejemplo! Yo tenía en mente algo similar, pero no puedo dar suche ejemplo.