11 votos

$f\circ g(x)$ y $g\circ f(x)$ están dadas; hallar $f$ y $g$

Si $(f\circ g) (x)=(\sin\sqrt{x})^2$ y $(g\circ f) (x)=\lvert\sin x\rvert$ encuentra $f$ y $g$ .

Mi progreso:

Por ensayo y error conseguí uno de esos pares $f(x) = \sin^2x$ , $g(x)=\sqrt{x}$ . Pero no puedo concluir que éste sea el único par de este tipo o si existen otros.

0 votos

La pregunta es buena, nunca pensé en otra posibilidad...

0 votos

¿Tiene en mente dominios y codominios específicos?

0 votos

Sea $a(x)=\sin^2\sqrt x$ y $b(x)=\lvert\sin x\rvert$ . Entonces $a\circ f=f\circ b$ y $g\circ a=b\circ g$ . No estoy seguro de adónde ir a partir de ahí, pero al menos cada ecuación contiene sólo una función desconocida.

5voto

user299698 Puntos 96

No, la pareja no es única. Hay infinitos pares (incontables). Consideremos $f(x)=\sin^2 (x)$ y
$$g_A(x)=\begin{cases} \sqrt{x} &\text{if $x\geq 0$ and $x\not=(k\pi)^2$ with $k\in A$,}\\ 0 &\text{if $x=(k\pi)^2$ with $k\in A$,} \end{cases}$$ donde $A$ es cualquier subconjunto de $\mathbb{N}^+$ .

Tenga en cuenta que si $0\leq x\leq 1$ entonces $g_A(x)=\sqrt{x}$ y $$(g_A\circ f) (x)=g_A(\sin^2(x))=|\sin x|.$$ Además, si $x=(k\pi)^2$ con $k\in A$ entonces $$(f\circ g_A) (x)=\sin^2(0)=0=\sin^2\sqrt{(k\pi)^2}=\sin^2(\sqrt{x}).$$

0 votos

¡Bien hecho! Acabas de resolver mi hipotesis :)

3voto

Lubin Puntos 21941

Un enfoque diferente, más abstracto:

Obsérvese que las fórmulas dadas sólo tienen sentido si $x\ge0$ . Obsérvese también que las funciones $\Phi(x)=\sin^2(\sqrt x\,)$ y $\Psi(x)=\sin x$ se dan como conjugados, mediante la función $\alpha(x)=x^2$ Eso es, $\Phi=\alpha\circ\Psi\circ\alpha^{-1}$ . Las funciones que encontró fueron $f=\alpha\circ\Psi$ y $g=\alpha^{-1}$ . Entonces $f\circ g=\alpha\circ\Psi\circ\alpha^{-1}=\Phi$ y $g\circ f=\alpha^{-1}\circ\alpha\circ\Psi=\Psi$ .

Está claro, pues, que podemos sustituir nuestro $\alpha$ por $\bar\alpha=\alpha\circ\psi$ para cualquier $\psi$ desplazamientos con $\Psi$ porque entonces $\bar f=\bar\alpha\circ\Psi$ y $\bar g={\bar\alpha}^{-1}$ tendrá $\bar f\circ\bar g=\alpha\circ\psi\circ\Psi\circ\psi^{-1}\circ\alpha^{-1}=\Phi$ y $\bar g\circ\bar f=\psi^{-1}\circ\alpha^{-1}\circ\alpha\circ\psi\circ\Psi=\Psi$ .

Las funciones que conmutan con $\sin$ son escasas, pero entre ellas se encuentran $\sin$ y $\arcsin$ así que tenemos:

Ejemplo 1 : $f=\sin^2(\sin(x))$ , $g=(\alpha\circ\sin)^{-1}=\arcsin(\sqrt x\,)$ .
Ejemplo 2 : $f=x^2$ , $g=\sin(\sqrt x\,)$ . Esta es la respuesta que todos deberíamos haber visto, pero me costó mucho trabajo.

Por supuesto, puede utilizar $\psi=\sin^{\circ n}$ donde eso significa iterar el seno $n$ veces, o el $(-n)$ -iteración doble de $\arcsin$ si $n$ es negativo, dando otra familia infinita diferente de soluciones.

2 votos

Ejemplo 2 no funciona. Para $x\geq 0$ , $g(f(x))=\sin(\sqrt{x^2})=\sin(|x|)=\sin(x)$ que no es lo mismo que $|\sin(x)|$ .

2 votos

@RobertZ: Sin embargo eso se puede arreglar eligiendo $g=\left|\sin\sqrt{x}\right|$ . La cuestión es que para que esta construcción funcione, la imagen de $\alpha^{-1}$ debe estar en el dominio de $\phi$ pero la imagen de $\sin(x)$ es $[-1,1]\not\subset [0,\infty)$ .

0 votos

@celtschk ¡Sí, estoy de acuerdo contigo!

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X