¿Qué es (por) un no-compacto $U(1)$ Mentira grupo?

Question

En John Preskill la revisión de los monopolos afirma

Hoy en día, tenemos otra forma de entender el porqué de la carga eléctrica es cuantizado. De carga está cuantizada si la electromagnética U(l)em calibre el grupo es compacto. Pero U(I)em es compactar automáticamente en un sistema unificado teoría de gauge en el que U(l)em está incrustado en un nonabelian semisimple grupo. [Tenga en cuenta que el estándar de Weinberg-Salam-Glashow (35) el modelo es no "unificada" de acuerdo a este criterio.]

La implicación de la tercera frase es que, en algunas circunstancias, el $U(1)_{em}$ grupo gauge puede no ser compacto. ¿Cómo podría ser esto? Desde $U(1)$ como una variedad diferenciable es diffeomorphic a $S^1$ no es automáticamente siempre compact?

El párrafo siguiente:

En otras palabras, en un sistema unificado de teoría de gauge, la carga eléctrica operador obedece trivial relaciones de conmutación con otros operadores en la teoría. Así como el momento angular de álgebra requiere la los autovalores de a $J_z$ a ser múltiplos enteros de $\frac{\hbar}{2}$, la conmutación relaciones satisfecho por la carga eléctrica operador de exigir su autovalores para ser múltiplos enteros de una unidad fundamental. Este conclusión se mantiene incluso si las simetrías generados por los cargos que no conmuta con carga eléctrica espontánea roto.

está bien, pero no me siga lo que tiene que ver con la compacidad de $U(1)$.

Answer 1

Por el "noncompact $U(1)$ grupo", nos referimos a un grupo que es isomorfo a $({\mathbb R},+)$. En otras palabras, los elementos de $U(1)$ son formalmente $\exp(i\phi)$, pero la identificación de $\phi\sim \phi+2\pi k$ no se impone. Cuando no impuestas, sino que también significa que la variable dual ("impulso") a $\phi$, la carga, no está cuantificada. Uno puede permitir que los campos arbitrarios continua de los cargos de $Q$ que transformar por el factor de $\exp(iQ\phi)$.

Todavía es legítimo llamar a esto una versión de una $U(1)$ grupo porque el álgebra de Lie del grupo sigue siendo el mismo, ${\mathfrak u}(1)$.

En la segunda parte de la pregunta, donde no estoy 100% seguro de lo que usted no entiende acerca de la cita, es probable que desee para explicar por qué la compacidad es relativa a la cuantización? Es porque la carga de la $Q$ es lo que determina la forma en la fase de $\phi$ de un campo complejo está cambiando bajo calibre transformaciones. Si decimos que el medidor de transformación de la multiplicación de los campos por $\exp(iQ\phi)$ es equivalente a $\phi$$\phi+2\pi$, es equivalente a decir que el $Q$ es de valor entero, porque la identidad $\exp(iQ\phi)=\exp(iQ(\phi+2\pi))$ mantiene iff $Q\in{\mathbb Z}$. Es la misma lógica que la cuantización del momento en espacios compactos o momento angular de las funciones de onda que depende de las coordenadas esféricas.

Él explica que la incorporación de la $Q$ en un no-grupo Abelian bastante implica que $Q$ está incrustado en un $SU(2)$ grupo dentro de la no-Abelian grupo y, a continuación, el $Q$ es cuantificada por la misma razón matemática, ¿por $J_z$ es cuantificada. Sólo quiero repetir su explicación, porque parece absolutamente completa y comprensible para mí.

Tenga en cuenta que la cuantización de la $Q$ mantiene incluso si el $SU(2)$ es espontáneamente rota a una $U(1)$. Después de todo, podemos ver como una cosa en la teoría electrodébil. La teoría de grupos aún trabaja para la espontáneamente rota $SU(2)$ grupo.

Answer 2

He conocido a este concepto una vez, pero ahora todavía estoy confundido. El siguiente ejemplo es sólo para estimular la discusión.

Intente esto con el programa Mathematica:

En[1]:=

ClearAll[Rh]; Rh[t_] := {{Cosh[t],Sinh[t]}, {Sinh[t],Cosh[t]}};

En[2]:=

Rh[t1].Rh[t2] // FullSimplify

El resultado es

[2]:= {{Cosh[t1 + t2], Sinh[t1 + t2]}, {Sinh[t1 + t2], Cosh[t1 + t2]}}

Es una realización de NONcompact U(1) ?!