Demostrando que sin el axioma de elección, existe un conjunto con un punto de acumulación que no'tthe límite de una secuencia convergeant

Question

He estado leyendo las partes simples de Thomas Jech el libro sobre el Axioma de Elección y llegó a través de la siguiente prueba en la página 141. La prueba supone un modelo matemático sin el axioma de elección.

Lema. $X$ es D-finito si y sólo si $X$ no tiene una contables subconjunto.

Teorema. Hay un conjunto $S$ de los números reales y un número real $a \not \in S$ tales que una es en el cierre de $S$, pero no hay ninguna secuencia $(x_n)^{\infty}_{n=0} \subset S$ tal que $(x_n)^{\infty}_{n=0} \longrightarrow a$.

Prueba. Deje $D$ un D-finito conjunto infinito de reales. Pretendemos que el conjunto $D$ debe tener un punto de acumulación. Para probar esta afirmación suponga que todos los $d \in D$ no son la acumulación de puntos, entonces vamos a $\{I_n:n=0,1,...\}$ ser un fijo de la enumeración de abrir intervalos racional de los extremos. Asignar al menos $n$ tal que $I_n \cap D={d}$ a cada una de las $d \in D$. Esto hace que $D$ contables y por el lema anterior nos da nuestra contradicción. Por lo $D$ tiene un punto de acumulación $a$. Deje $S=D \setminus\{a\}$ y desde $S$ es D-finito, cada secuencia convergente en $S$ finalmente es constante.

Podría alguien explicar esta prueba? ¿Por qué es la última frase de verdadero/ ¿por Qué esto no significa de cada secuencia convergente finalmente es constante?

Creo que el siguiente teorema es importante

Teorema. No es un modelo de ZF que tiene un conjunto infinito de números reales, sin un subconjunto contable

Answer 1

Deje $(x_n)$ una secuencia en $S$$x_n\to x$. Si la secuencia no es, finalmente, constante, podemos definir a la $y_n=x_m$ donde $m$ es mínima con $x_m\ne x$ $|x_m-x|<|y_k-x|$ todos los $k<n$. A continuación, $y_n\to x$ $\{\,y_n\mid n\in\mathbb N\,\}$ es una contables subconjunto de $S$. Por el lema $S$ no es D-finito.

Answer 2

De particular importancia es que para cualquier D-conjunto finito $F$, cada función de $\mathbb{N} \to F$ puede tomar sólo un número finito de valores.

Si $f: \mathbb{N} \to F$ tomó sólo infinitamente muchos valores diferentes, a continuación, se puede definir el $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ recursivamente de acuerdo a $$g ( n ) = \min \{ k \in \mathbb{N} : f(k) \notin \{ f(g(0)) , \ldots , f(g(n-1)) \}\;\},$$ y, a continuación, la composición de la $f \circ g : \mathbb{N} \to F$ sería uno-a-uno, contradiciendo ese $F$ no tiene countably subconjunto infinito!

El uso de este es bastante sencillo para mostrar que cualquier secuencia convergente en un D-conjunto finito de reales finalmente es constante.

Answer 3

Un punto que está un poco fuera de lugar entre las respuestas es este:

Si $D$ es un Dedekind-conjunto finito y $S\subseteq D$, $S$ es Dedekind-finito así. La prueba es sencilla desde el lema citado en su pregunta. Si $S$ fue Dedekind-infinito, entonces habría un countably subconjunto infinito, y por lo tanto $D$, una contradicción.

Ahora, desde la $S$ es Dedekind-finito cada contables subconjunto es un subconjunto finito. El rango de la secuencia de conteo, por definición, y por lo tanto finito. La única de las secuencias con la gama limitada que convergen son los que finalmente son constantes.

Answer 4

En esta respuesta voy a usar la palabra "infinito" para decir "no" finita (es decir, no biject con cualquier ordinal finito) y "countably infinito" significa "en bijection con $\mathbb N$" (así, en particular, $D$-finito de conjuntos no son countably infinito, incluso si se inyectan en $\mathbb N$). Estos usos son probablemente estándar, pero a menudo es fácil olvidar cuando se trabaja sin la Opción de que un par de distinciones que no importaba ahora, por lo que las definiciones que a veces tienen que ser revisados.

La idea es que si el conjunto de puntos que la secuencia se visitaron finito, entonces a partir de la secuencia converge tendría que establecerse a sólo uno de ellos, por lo que la secuencia es el tiempo constante. Por ejemplo, tomar la mitad de la menor distancia entre dos puntos en el conjunto finito, y la secuencia es el tiempo en que la distancia de su límite, por lo que no puede saltar entre los puntos más.

Si, por otro lado, la secuencia de visitas infinitamente muchos puntos, entonces se forma una contables subconjunto del conjunto $D$, y esto viola $D$-finitud.

La parte difícil es argumentar "infinito $\implies$ countably infinito", ya que después de todo $D$ sí es infinito, pero no countably así! Sin embargo, el rango de la secuencia puede ser bien ordenado por "el elemento que hice primero la visita", de modo que debe biject con un ordinal, y los ordinales no presentan comportamiento patológico como, al mismo tiempo, infinito e $D$-finito.