Transición de fase de tercer orden en la teoría de Landau

Question

$F=\frac{a}{2}m^2+\frac{u}{4}m^4+\frac{v}{6}m^6-hm$ , donde $F$ es la energía libre, $m$ es el parámetro de orden, $h$ es el campo externo, $a=a_0(T-T_c)$ y $a_0>0,u>0$ y $v>0$ Sabemos que esta expansión de energía libre describe una transición de fase de segundo orden. Cómo escribir una energía libre tal que la transición sea una transición de fase de tercer orden?

Answer 1

Aunque las transiciones de tercer orden son raras de ver, pero no es difícil escribir la teoría de Landau para las transiciones de tercer orden. Sea $m$ sea el parámetro de orden, la energía libre se lee simplemente $$F=a m^4+ b m^6+\cdots$$ con $b>0$ y $a$ es el parámetro impulsor, que desencadena una transición de tercer orden en $a_c=0$ . Para comprobarlo, basta con calcular el punto de ensillamiento a partir de $\partial_mF=0$ para que $$m=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{-2a/3b} & a<0,\\ 0 & a>0.\end{array}\right.,$$ y por lo tanto $$F=\left\{\begin{array}{ll} 4a^3/9b^2 & a<0,\\ 0 & a>0.\end{array}\right.,$$ que obviamente se vuelve singular en la derivada de tercer orden $\partial_a^3 F$ en $a=0$ . Siguiendo esta línea de pensamiento, se puede jugar con la teoría de Landau, y escribir $$F=a m^{2(n-1)}+b m^{2n}+\cdots$$ para $n$ th-orden ( $n\geq2$ ) las transiciones de fase. Pero no creo que tal construcción teórica tenga realmente sentido, porque los términos de orden inferior que desaparecen requieren un ajuste fino del modelo, y difícilmente pueden realizarse físicamente.

Sin embargo, más allá del paradigma de Landau, las transiciones de tercer orden pueden ocurrir en transiciones de fase cuántica topológica. Un ejemplo conocido es la transición entre aislantes de Chern 2D, descrita por el siguiente Hamiltoniano $$ H =\sum_{k} c_k^\dagger (\sin k_x\sigma_x+\sin k_y\sigma_y+(\cos k_x+\cos k_y-2+m)\sigma_z)c_k,$$ donde $c_k$ es el operador de electrones del momento $k$ . La masa topológica $m$ es el parámetro de conducción: $m>0$ ( $m<0$ ) corresponde a la fase topológica (trivial), mientras que $m=0$ es fundamental. Es fácil demostrar que la energía libre (a temperatura cero) del sistema de fermiones es $F\simeq\int\mathrm{d}^2k\sqrt{k^2+m^2}\sim -|m|^3$ Así que $\partial_m^3 F$ es singular en $m=0$ y, por tanto, una transición de tercer orden. Durante esta transición, el hueco del cono de Dirac (en $k=0$ ) se cierra y se reabre, lo que lleva a $\pm1$ cambio en el número de Chern de la banda ocupada, que refleja el cambio subyacente de la topología de la banda. Sin embargo, en esta transición no hay ni rotura de simetría ni parámetros de orden local, por lo que es un ejemplo de transición de tercer orden que no puede ser descrita por la teoría de Landau.