Me gustaría saber el grupo de Picard de los espacios proyectivos sobre los enteros $\mathbb{Z}$. Sé que el espacio proyectivo sobre un campo $k$$\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n_{\mathbb{k}}) \cong \mathbb{Z}$, pero lo que en el caso de los enteros (o incluso arbitraria de los anillos)? Hay resultados?
Respuesta
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Si $A$ es un factorial de dominio, a continuación, $\mathrm{Pic}(A)$ es trivial. De ello se deduce que también se $\mathrm{Pic}(\mathbb{A}^n_A)$ es trivial. Ahora $\mathbb{P}^n_A$ es cubierto por el open subschemes $U_i = D_+(x_i) \cong \mathbb{A}^n_A$$0 \leq i \leq n$, teniendo cada uno de trivial Picard grupo. De ello se desprende que $\mathrm{Pic}(\mathbb{P}^n_A) \cong \check{H}^1(\{U_0,\dotsc,U_n\},\mathcal{O}^\times)$. Este Cech cohomology grupo se compone de elementos de $\eta_{ij} \in \mathcal{O}(U_i \cap U_j)^\times$ que satisfacen la coycle condición, modulo coboundaries (si usted no sabe cohomology: estos $\eta_{ij}$ son sólo el isomorphisms de la trivial restricciones de una línea de paquete en la $\mathbb{P}^n_A$ $U_i$sobre los solapamientos $U_i \cap U_j$). Se calcula el $\mathcal{O}(U_i \cap U_j)^\times = A^\times \cdot \langle \frac{x_j}{x_i} \rangle$. Escrito $\eta_{ij} = \lambda_{ij} (x_j/x_i)^{n_{ij}}$, uno encuentra que las $n:=n_{ij}$ no dependen $i,j$ y $\lambda_{ik} = \lambda_{ij} \lambda_{jk}$ (con cocycle condición). Pero, a continuación, $\lambda_{ij} = \lambda_{0j} \lambda_{0i}^{-1}$ es un coboundary y $\eta_{ij}$ es cobordant a $(x_j/x_i)^n$. De ello se desprende que $\mathbb{Z} \cong \mathrm{Pic}(\mathbb{P}^n_A)$.
En mi opinión, esta prueba es mucho más elemental y directo a la habitual con divisores (que sólo funciona para los campos). Acabamos de restringir la línea dada paquete en la $\mathbb{P}^n$ $n+1$ afín espacios de $\mathbb{A}^n$, a las que han de ser trivial. A continuación, veremos lo que sucede en las intersecciones, y calcular a mano que se pegan por medio de la $(x_j/x_i)^n$ para algunos únicas $n \in \mathbb{Z}$.
