Es el producto cartesiano de homeomorphisms de nuevo un homeomorphism?

Question

Si tenemos dos homeomorphisms $f:A\to X$$g:B\to Y$, entonces es cierto que $f\times g:A\times B\to X\times Y$ definido por $(f\times g)(a,b)=(f(a),g(b))$ es de nuevo un homeomorphism?

Creo que la respuesta es sí;

Es claramente un bijection. Intuitivamente parece ser continua, pero no sé cómo demostrarlo. Si, sin embargo, esto no es cierto, me puede dar un contraejemplo?

Answer 1

En general, el producto Cartesiano de dos funciones continuas es de nuevo continua. Utilice el hecho de que la base de bloques abiertos en $X\times Y$ son de la forma $U\times V$ donde $U$ está abierto en $X$ $V$ está abierto en $Y,$ a continuación muestran que la $$(f\times g)^{-1}[U\times V]=f^{-1}[U]\times g^{-1}[V],$$ which is open in $A\times B$ by continuity of $f$ and $g$ y la definición de la topología producto.

Por el mismo tipo de razonamiento, el abierto básicos conjuntos de $A\times B$ son de la forma $U\times V$ donde $U$ está abierto en $A$ $V$ está abierto en $B,$, por lo que se demuestra que $$(f\times g)[U\times V]=f[U]\times g[V],$$ which is open since $f$ and $g$ son mapas abiertos.

Sólo para aclarar mi notación (en caso de que sea nuevo para usted): Dada una función $h:C\to Z,$ $E\subseteq C,$ $F\subseteq Z,$ yo denotar $$h^{-1}[F]:=\{x\in C:h(x)\in F\}$$ and $$h[E]:=\{f(x):x\in E\}.$$

Answer 2

Un argumento categórico sería como este: Considerar una categoría $C$ con los productos. (En este caso, $\mathbf{Top}$, la categoría con los objetos de los espacios topológicos y las flechas de las funciones continuas, tiene productos: el producto de la topología tiene la necesaria universal de los bienes). Deje $f_i:a_i\rightarrow b_i$ ser un iso para cada una de las $i\in I$ donde $I$ es una categoría discreta (un conjunto). Consideremos el siguiente diagrama conmutativo $$\requieren{AMScd} \begin{CD} b_i @<q_i<< \prod b_i\\ @Vf_i^{-1}VV @VV\prod f_i^{-1}V\\ a_i @<p_i<< \prod a_i\\ @Vf_iVV @VV\prod f_iV\\ b_i @<<q_i< \prod b_i. \end{CD}$$ Consider the "same" diagram with $f$ and $f^{-1}$ interchanged. Then, by the universal property of products, the arrow $\prod f_i:\prod a_i\rightarrow\prod b_i$ is an iso, with inverse $\prod f_i^{-1}$. In $\mathbf{Top}$, isos are homeomorphisms. Everything is done by the universal property, so the same argument works for $\mathbf{Set}$, $\mathbf{Grp}$, etc.

Answer 3

Para comprobar que es continua, usted sólo tendrá que comprobar que el individuo coordenadas, ya que $f\times g$ es continua iff $p_X\circ (f\times g)$$p_Y\circ (f\times g)$. Pero estas son sólo las asignaciones de $(a,b)\mapsto f(a)$$(a,b)\mapsto g(b)$. Se puede expresar como composiciones de funciones continuas?

Más generalmente

• $f\times g$ es continua si $f$ $g$ son continuas.
• $f\times g$ es inyectiva si $f$ $g$ son inyectiva.
• $f\times g$ es surjective si $f$ $g$ son surjective.
• $f\times g$ es abierto si $f$ $g$ están abiertos.

El de arriba tiene arbitrarias de muchos de los mapas, no sólo dos. Si todos los espacios son no vacíos, entonces el recíproco implicaciones mantenga así.

Pero:

Si $f$ $g$ son cociente de mapas, $f\times g$ no se necesita ser un cociente de mapa.