$f'$ está acotada y no es continua en $(a,b)$ Así que hay un punto $y\in(a,b)$ tal que $\lim_{x\to y}f'$ no existe

Question

Demostrar/desmentir: $f$ tiene una derivada acotada y $f'$ no es continua en $(a,b)$ Así que hay un punto $y\in(a,b)$ tal que $\displaystyle\lim_{x\to y}f'$ no existe.

Creo que si $f'$ no es continua en el intervalo, entonces quizás podríamos tener dos subintervalos disjuntos, como por ejemplo $(a,c), (d,b)$ tal que $d-c=\dfrac {a+b} 3$ así que hay una brecha sustancial en el intervalo $(a,b)$ donde $f'$ no está definido por lo que se deduce que no tendrá un límite allí, por ejemplo: en $\dfrac {c+d}2$ .

Answer 1

De hecho, debería haber un punto en el que el límite no existiera. La forma más sencilla de verlo es utilizar la propiedad de Darboux (valor intermedio) de la derivada. En efecto, si $f'$ no es continua en el punto $x_0$ y $\lim_{x\to x_0}f'(x)=m\ne f'(x_0)=M$ entonces por la propiedad de valor intermedio de la derivada en la vecindad de $x_0$ podemos encontrar muchos valores de $f'$ equivale a decir $\frac{m+M}{2}.$ Esto estaría en contradicción con la existencia del límite.

Answer 2

Lo fundamental que hay que observar aquí es que una derivada no puede tener discontinuidad de salto . Si $f'(x) \to L$ como $x \to c$ entonces $f'(c) = L$ y así $f'$ es continua en $c$ . Por tanto, no es posible que una derivada tenga un límite en un punto y no sea continua en ese punto. De ello se deduce que habrá puntos en los que el límite de la derivada $f'(x)$ no existe.

Pasemos ahora a la prueba de la afirmación mencionada en negrita. Leshik ya ha dado una prueba en su respuesta. He aquí otra prueba basada en el teorema del valor medio. Supongamos que $f(x)$ es diferenciable en la vecindad de $c$ . Supongamos que $x \to c$ y $f'(x) \to L$ como $x \to c$ . Entonces tenemos $f(x) - f(c) = (x - c)f'(d)$ donde $d$ se encuentra entre $c$ y $x$ . Así $$\frac{f(x) - f(c)}{x - c}=f'(d)$$ En $x\to c$ entonces LHS tiende a $f'(c)$ y RHS tiende a $L$ porque $d \to c$ . De ello se deduce que $f'(c) = L = \lim_{x \to c}f'(x)$ . Por lo tanto $f'(x)$ es continua en $c$ .