Deje $w_0$ ser el más largo del elemento en el Weyl grupo de Lie semisimple álgebra $\mathfrak{g}$. ¿Cómo se $w_0$ act en el simple raíces $\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \}$? Si $L_{\lambda}$ es un irreducile $\mathfrak{g}$-módulo con mayor peso,$\lambda$$w_0(\lambda)=-\lambda$? Hay algunas referencias acerca de las propiedades de $w_0$? Muchas gracias.
Respuesta
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Depende de la Mentira de álgebra. Tenemos que $-w_0$ induce a algunos de permutación de la simple raíces, ya que envía el positivo Weyl cámara a sí mismo. Desde $-w_0$ respeta interior de los productos, se debe inducir un automorphism del diagrama de Dynkin de $\mathfrak g$. Esto inmediatamente nos dicen que $-w_0$ es la identidad, por el simple álgebras de Lie $B_n$, $C_n$, $E_7$, $E_8$, $F_4$, y $G_2$.
Para $A_n$, el sistema de la raíz puede ser tomada como un simple raíces $$ \boxed{e_1-e_2}-\boxed{e_2-e_3}-\cdots -\boxed{e_n-e_{n+1}} $$ donde el $e_i$ son estándar vectores de la base, y el producto interior es el estándar. El grupo de Weyl es generado por los reflejos a través de $e_i-e_{i+1}$, que se activan $e_i$$e_{i+1}$, por lo que el grupo de Weyl es $S_{n+1}$, actuando por permuting la $e_i$. Si puedo encontrar un elemento del grupo de Weyl que toma el conjunto de simple raíces para el conjunto de los aspectos negativos de la simple raíces, debe ser $w_0$. La permutación de envío de $e_1,\dots, e_{n+1}$ $e_{n+1},\dots, e_1$hace el truco, así que podemos ver que $-w_0$ se invierte el orden de la simple raíces. Es decir, se envía el anterior diagrama de Dynkin $$ \boxed{-e_{n+1}+e_n}-\boxed{-e_n+e_{n-1}}-\cdots -\boxed{-e_2+e_1} $$
Para $D_n$, podemos tomar el simple raíces $$ \boxed{e_1-e_2}-\cdots -\boxed{e_{n-2}-e_{n-1}}<{\boxed{e_{n-1}-e_n}\cima\boxed{e_{n-1}+e_n}} $$ Aquí, el grupo de Weyl de nuevo actúa por permuting la $e_i$, pero también tenemos la reflexión a través de $e_n+e_{n+1}$, que envía a $e_n$$e_{n+1}$$-e_{n+1}$$-e_n$, respectivamente. Por lo tanto, el grupo de Weyl arbitrariamente puede permutar las $e_i$, y se puede negar que un número de ellos. Si $n$ es incluso, podemos tomar $w_0$ a negar todas las $e_i$, en cuyo caso $-w_0$ es la identidad. Si $n$ es impar, podemos tomar $w_0$ a negar todas las $e_i$ excepto $e_n$, en cuyo caso, $-w_0$ interruptores de los dos "cuernos" del diagrama.
Para $E_6$, podemos tomar la raíz del sistema $$ \begin{align*} \boxed{e_1-e_2}-\boxed{e_2-e_3}&-\boxed{e_3-e_4}-\boxed{e_4-e_5}-\boxed{e_5-e_6}\\ &\qquad\qquad|\\ &\boxed{e_4+e_5+e_6} \end{align*} $$ De nuevo, podemos permutar $e_1,\dots, e_6$ arbitrariamente, y en esta ocasión tenemos la operación adicional de reflejar a través de $e_4+e_5+e_6$. No veo una manera fácil de negar el conjunto de simple raíces mediante estas operaciones. Si lo haces, por favor, añadir un comentario. Me siento como que podría ser capaz de integrar el sistema de la raíz en $E_7$ (mediante la adición de un $\boxed{e_6-e_7}$ hasta el final), y luego decir que la palabra más larga niega todas las de la simple raíces (ya que no hay ningún diagrama de automorfismos), a continuación, sostienen que la palabra más larga para $E_6$ debe "hacer la misma cosa" (esta parte no me queda claro), por lo $-w_0$ debe ser la identidad.
Por cierto, desde la doble vertiente de la $V_\lambda$$V_{-w_0(\lambda)}$, lo que responde a la siguiente pregunta: Que simple $\mathfrak g$ tienen la propiedad de que cada finito-dimensional representación es isomorfo a su doble?
