Hace un enrejado en $SL_n(\mathbb R)$, que está contenida en $SL_n(\mathbb Z)$ han finito índice en $SL_n(\mathbb Z)$?

Question

Un entramado $H$ en un localmente compacto grupo de $G$ es un subgrupo discreto tal que el coset espacio de $G/H$ admite un número finito de $G$-invariante de la medida.

He leído varios lugares que cualquier entramado H en $SL_n(\mathbb{R})$, que está contenida en $SL_n(\mathbb{Z})$ debe tener finito índice en $SL_n(\mathbb{Z})$. Pero he sido incapaz de probar este. He intentado usar la correspondencia entre la medida de Haar en $SL_n(\mathbb{R})$ y el recuento medida en $SL_n(\mathbb{Z})$, donde podemos partición $SL_n(\mathbb{R})$ en conjuntos que contienen cada uno de los elementos de $SL_n(\mathbb{Z})$, y luego de la normalización de la seg.t. cada uno de estos tiene una medida de uno. Pero este parecía conducir a ninguna parte. También acaba de restringir la medida en $SL_n(\mathbb{R})/H$ $SL_n(\mathbb{Z})/H$no funciona bien ya que este último tiene medida cero.

Muchas gracias a los que van a responder.

Answer 1

En primer lugar, para $H\subset \Gamma\subset G$ $G$ unimodular, $\Gamma$ discretos, la fijación de una medida de Haar en $G$, no hay una única $G$invariante en la medida en $\Gamma\backslash G$ tal que $$ \int_{\Gamma\barra invertida G} \sum_{\gamma\en \Gamma} \varphi(\gamma\cdot g)\;dg \;=;\ \int_G \varphi(g)\;dg $$ para todos los $\varphi\in C^o_c(G)$. Supongamos $\Gamma\backslash G$ tiene medida finita. Del mismo modo, por el mismo general de la singularidad de los resultados, no hay una única medida en $H\backslash G$ tal que $$ \int_{\Gamma\barra invertida G} \sum_{\gamma\H\barra invertida \Gamma} \varphi(hg)\;dg \;=\; \int_{H\barra invertida G} \varphi(g)\;dg $$ para todos los $\varphi\in C^o_c(H\backslash G)$. Esto responde a la mayoría de las preguntas sobre el trío $H\subset \Gamma \subset G$. Por ejemplo, si, si $H\backslash G$ ha finito de volumen, a continuación, $H$ debe ser finito índice en $\Gamma$ o más de la suma de $H\backslash \Gamma$ es infinito...

Answer 2

Si $F\subset SL_n(\mathbb{R})$ es un (medibles) fundamental el dominio de la izquierda-la acción de $SL_n(\mathbb{Z})$$SL_n(\mathbb{R})$, e $\{k_i\}_{i\in H\backslash SL_n(\mathbb{Z})}$ es una colección de los representantes de los cosets de $H$$SL_n(\mathbb{Z})$, luego $$\cup_ik_iF$$ is a fundamental domain for the action of $H$ on $SL_n(\mathbb{R})$. There must therefore be only finitely many $k_i$ since $H$ es una celosía.