¿Cuál es el cociente del espacio de $\mathbb{C}[x,y,z]/(x^2+y^2)$?

Question

¿Cuál es el cociente del espacio de $\mathbb{C}[x,y,z]/(x^2+y^2)$ y más en general, ¿cómo puedo determinar dichos espacios (si es posible incluir alguna referencia). Tales coeficientes aparecen mucho en la geometría algebraica y tengo problemas para entender lo que estos espacios son y "parecer". Puedes dar un par de ejemplos?

Tenga en cuenta que yo soy un físico que carecen de la capacitación formal en álgebra abstracta. Sólo quiero entender estos espacios cociente hecha de anillos de modded con algunos de los polinomios.

Answer 1

Geométricamente se define por la ecuación de $x^2 + y^2=0$ en el espacio tridimensional $\mathbb{C}^3$. Aviso de $x^2+y^2 =(x+iy)(x-iy)$. Por lo que es la Unión de dos (complejo) plano dado por las ecuaciones $x+iy=0$ $x-iy=0$

Algebraicamente, es el mismo de la $\mathbb{C} [x,y,z]$, además de que cuando usted ve $x^2+y^2$ reemplazarla por $0$

Answer 2

Tengo problemas para entender lo que estos espacios son y "parecer".

Tomar la unión de dos transversalmente planos que se intersectan en 3 dimensiones reales del espacio, tales como $x=0$$y=0$. Este es es visualizable. Ahora permiten complejo de coordenadas.

Esto es equivalente al espacio en cuestión, hasta un cambio lineal de coordenadas (a pesar de los cambios lineales de la variable coeficientes complejos).

Answer 3

Lo que usted está considerando es el campo de función determinada por una variedad. En su caso, teniendo en cuenta la variedad determinada por $x^2 + y^2$, por lo que la función de campo es, naturalmente, $\mathbf{C}(x,y,z)$ donde $x,y,z$ son sujeto trascendental a la relación $x^2 + y^2 = 0$. Buscando la clave del término "función", campo en común algebraica de los libros de texto (Hartshorne es mi referencia) o en línea, usted debería ser capaz de encontrar una gran cantidad de material adicional. Debe tener en cuenta que esta tiene sus orígenes en el análisis complejo, donde la función de campo es meromorphic funciones. Utilizando este hecho, tiene una natural generalización en el esquema de la teoría, es decir, considerando la gavilla de meromorphic funciones que Hartshorne describe en gran detalle en el Capítulo 2.