Buscar Todas las Dimensiones tales que el Volumen de la Caja = Área de la Superficie

Question

Un prisma rectangular tiene entero borde de longitudes. Buscar todas las dimensiones de tal forma que su superficie sea igual a su volumen.

Mi Intento de Solución:

Deje que el borde de las longitudes de ser representado por las variables $l, w, h$.

A continuación, $$lwh = 2\,(lw +lh + wh) \implies lwh = 2lwh\left(\frac{1}{l} + \frac{1}{w} + \frac{1}{h}\right).$$

Dividiendo ambos lados de la ecuación por $lwh$ rendimientos $$1 = 2\left(\frac{1}{l} + \frac{1}{w} + \frac{1}{h}\right)$$

O, $$\frac{1}{l} + \frac{1}{w} + \frac{1}{h} = \frac{1}{2}$$

Aunque tal vez un poco innecesario, he utilizado algunas deducción algebraica y teoría de números para encontrar todos los posibles ordenó triple pares para las dimensiones del prisma rectangular, en los casos donde todas las dimensiones de la misma y dos de las dimensiones de la misma.

Mis respuestas fueron: $(6,6,6),(5,5,10),(8,8,4),(12,12,3)$

Tengo una corazonada de que ningún par ordenado existe, donde todos los tres valores son distintos, pero hay una manera rigurosamente demostrar esto?

Nota: Por el AM-GM de la Desigualdad, $lwh \geq 216$. (No he sido capaz de hacer uso de este hecho, pero me acaba de señalarse aquí en su caso)

Edit: Después de investigar un poco más sobre Egipcio Fracción de Análisis, inspirado por marty cohen respuesta, me pareció de una Wolfram Mathworld página sobre Egipcio Fracciones de una unidad de fracción puede ser (infinitamente) se dividió en dos más fracciones de unidades: $$\frac{1}{a} = \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a(a+1)}.$$ Luego utiliza esta idea para generar correctamente un par ordenado triplete de soluciones de ($l,w,h$).

WLoG, suponga $l \leq w \leq h$. A continuación, el siguiente ordenó trillizos ($l,w,h$) son soluciones de la ecuación de $\frac{1}{l} + \frac{1}{w} + \frac{1}{h} = \frac{1}{2}$.

$$(4,6,12), (3,7,42), (3,8,24)$$

Pero, sospecho que hay muchas más soluciones, ya que usted puede mezclar y combinar las fracciones que se descomponen. Esto se traduce en un sinnúmero de combinaciones de ($l,w,h$), y no sé cómo utilizar el trabajo de casos o de otra manera más organizada enfoque para resolver este problema. Pero, yo creo que todavía puede ser resuelto utilizando este enfoque.

Si alguien tiene alguna idea sobre cómo resolver el problema a través de la "división de la unidad de fracción" método, o cualquier otra solución de trabajo, les agradecería mucho si lo compartió conmigo.

Pido disculpas por el largo post y gracias por leer.

Answer 1

A partir de su ecuación $\frac{1}{h} + \frac{1}{w} + \frac{1}{l} = \frac{1}{2} $, a mí me parece que sencillo Egyption fracción de análisis.

Suponga que $h \le w \le l$.

En primer lugar, $h \ge 3$ (o bien la suma supera $\frac12$) y $h \le 6$ (o bien la suma es menor que $\frac12$).

Para cualquiera de estos valores, $\frac1{w}+\frac1{l} =\frac12-\frac1{h} $.

Para obtener un límite inferior en $w$, $\frac1{w} <\frac12-\frac1{h} $ o $w >\frac{1}{\frac12-\frac1{h}} =\frac{2h}{h-2} =\frac{2h-4+4}{h-2} =2+\frac{4}{h-2} $ o $w \ge 3+\lfloor \frac{4}{h-2} \rfloor $.

Para obtener un límite superior en $w$, $2\frac1{w} \ge\frac12-\frac1{h} $ o $w \le\frac{2}{\frac12-\frac1{h}} =\frac{4}{h-2} =\frac{4h-8+8}{h-2} =4+\frac{8}{h-2} $ o $w \le 4+\lfloor \frac{8}{h-2} \rfloor $.

Aquí están estos límites (recordar que $w \ge h$):

$\begin{array}{lll} h & low & high\\ 3 & 6 & 12\\ 4 & 5 & 10\\ 5 & 5 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \\ \end{array} $

Para cada una de las posibles $(h, w)$ par, compruebe si $l =\frac{1}{\frac12-\frac1{h}-\frac1{w}} =\frac{2hw}{hw-2w-2h} =\frac{2hw-4w-4h+4w+4h}{hw-2w-2h} =2+\frac{4a+4h}{hw-2w-2h} $ es un número entero.

Answer 2

Puesto que ya ha determinado que todas las soluciones donde dos o tres de las variables son iguales permanece encontrar todos los enteros triples $(a,b,c)$ con $$a<b<c\quad{\rm and} \qquad{1\over a}+{1\over b}+{1\over c}={1\over2}\ .\tag{1}$$ De acuerdo a su edición sospecha de que podría haber una infinidad de soluciones. Pero este no es el caso.

De $(1)$ uno inmediatamente se deduce que las ${1\over6}<{1\over a}<{1\over 2}$, lo que implica $3\leq a\leq 5$. Ahora el tratamiento de estos casos por separado.

(i) Cuando $a=3$ tenemos que resolver $${1\over b}+{1\over c}={1\over 6}$$ with $b<c$, and this implies $7\leq b\leq11$. De ello se sigue que $$(b,c)\in\bigl\{(7,42), (8,24), (9,18), (10,15), (11,{\textstyle{5\over66}})\bigr\}\ .$$ Esto conduce a la admisible triples $$(3,7,42), (3,8,24), (3,9,18), (3,10,15)\ .\tag{2}$$ (ii) Cuando $a=4$ tenemos que resolver $${1\over b}+{1\over c}={1\over 4}$$ with $b<c$, and this implies $5\leq b\leq7$. De ello se sigue que $$(b,c)\in\bigl\{(5,20), (6,12), (7,{\textstyle{3\over28}})\bigr\}\ .$$ Esto conduce a la admisible triples $$(4,5,20), (4,6,12)\ .\tag{3}$$ (iii) Cuando $a=5$ tenemos que resolver $${1\over b}+{1\over c}={3\over 10}$$ with $b<c$. This implies ${1\over b}>{3\over20}$, or $b\leq6$, and the condition $de<b$ then enforces $b=6$. This would imply $c={15\over2}$, que no es admissble.

Dentro de todo, hay la $6$ triples mencionados en $(2)$$(3)$.

Answer 3

No es $(4,5,20)$.

No puedo pensar en un enfoque general que no se trata de fuerza bruta, sin embargo.

Answer 4

Aquí un poco ad hoc método para la generación de soluciones a $\frac1h+\frac1w+\frac1l=\frac12$. Encontrar un número de $n$ para los cuales hay tres factores, $a,b,c$ $n$ que añadir a $\frac{n}2$. Nosotros, a continuación, dividir la ecuación de $a+b+c=\frac{n}2$ $n$ para obtener la forma deseada.

Por ejemplo, si $n=30$, podemos tomar los factores de $2, 3, 10$. Luego dividiendo $2+3+10=15$ $30$ da $\frac{1}{15}+\frac{1}{10}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$. Así, una caja de dimensiones $15$ $10$ $3$ debería funcionar.