El análogo de la prueba sería que el intervalo de
$$\left[\xi a - \frac{1}{a},\xi a+\frac{1}{a}\right]$$
contiene un entero, donde $\xi = \frac{\varphi}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^2+1}{5} = \frac{5+\sqrt{5}}{10}$.
Tenemos $L_n = \varphi^n + \psi^n$ donde $\psi = 1-\varphi = -\frac{1}{\varphi} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$, y así
$$\frac{\varphi}{\sqrt{5}}L_n = \frac{\varphi^{n+1} - \psi^{n-1}}{\sqrt{5}} = \frac{\varphi^{n+1}-\psi^{n+1}}{\sqrt{5}} + \frac{\psi^n(\psi - \psi^{-1})}{\sqrt{5}} = F_{n+1} + \frac{\psi^n}{\sqrt{5}}.$$
Desde
$$\left\lvert \xi L_n - F_{n+1}\right\rvert = \frac{\lvert\psi\rvert^n}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}\,\varphi^n} < \frac{1}{L_n},$$
todos los números de Lucas pasar esta prueba.
A la inversa, que sólo Lucas números de pasar la prueba, no es tan obvio. Es equivalente a decir que si
$$\left\lvert \frac{5+\sqrt{5}}{10} - \frac{b}{a}\right\rvert \leqslant \frac{1}{a^2}$$
para enteros positivos $a,b$, $\frac{b}{a}$ es convergente de $\xi$. (Ya que la continuación de la fracción de expansión de $\xi$$[0,1,2,\overline{1}]$, el distinto de cero convergents de $\xi$ son precisamente las $\frac{F_{n+1}}{L_n}$ $n\geqslant 1$; $L_0 = 2$ es un caso especial.)
Supongamos que $L_n < a < L_{n+1}$$n > 2$. Debemos demostrar que para todos los $b$ hemos
$$\left\lvert\xi - \frac{b}{a} \right\rvert > \frac{1}{a^2}.$$
Desde el convergents están en la hilera de pequeños y grandes de $\xi$, tenemos
$$\frac{F_{n+1}}{L_n} \lessgtr \xi \lessgtr \frac{F_{n+2}}{L_{n+1}} \lessgtr \frac{F_n}{L_{n-1}},$$
y $\frac{F_{n+2}}{L_{n+1}}$ es la única fracción con el más pequeño denominador que se extiende entre los $\frac{F_{n+1}}{L_n}$$\frac{F_n}{L_{n-1}}$. Por lo tanto, $\frac{F_{k+1}}{L_k}$ se encuentra entre $\xi$ $\frac{b}{a}$ para $k = n$ o $k = n-1$ (a menos que $a = 2L_{n-1}$$b = 2F_n$, pero, a continuación, $\left\lvert\xi - \frac{b}{a}\right\rvert > \frac{1}{a^2} = \frac{1}{4 L_{n-1}^2}$ sigue a partir de las estimaciones generales de la calidad de las aproximaciones por convergents). Entonces
$$\begin{align}
\left\lvert\xi - \frac{b}{a}\right\rvert &= \left\lvert\xi - \frac{F_{k+1}}{L_k}\right\rvert + \left\lvert\frac{F_{k+1}}{L_k} - \frac{b}{a} \right\rvert\\
&> \left\lvert\frac{F_{k+1}}{L_k} - \frac{b}{a} \right\rvert\\
&= \frac{\lvert aF_{k+1} - bL_k\rvert}{aL_k}\\
&\geqslant \frac{1}{a L_k}\\
&> \frac{1}{a^2},
\end{align}$$
desde $a > L_k$. Por lo $a$ no pasan la prueba, y está establecido que sólo Lucas números de pasar.
