Integral con soluciones de conflicto

Question

Aquí está la integral:

$$\int\frac{x e^{2x}}{(1+2x)^2}dx$$

Cada método que intente utilizar golpea a un callejón sin salida o hace que el problema más complicado. La única manera que he conseguido completar la integral es usando integración por partes y la distribución de todo el camino de salida, pero que termina siendo un enorme complejo lío de términos diferentes que no tengo manera de verificar.

EDITAR:

La respuesta en la parte de atrás del libro y la respuesta dada por Mathematica es:

$$\frac{e^{2x}}{8x+4}$$

Sin embargo, me parece que no puede conseguir allí. Siento que debe haber una manera de organizar el completado integral de manera algebraica, de manera que todos los términos son complicados cancelar y terminar con el bonito y limpio respuesta el libro ofrece, pero después de una hora de prueba y error, yo todavía no lo has encontrado.

Edit: pido Disculpas, hice una errata en este post, ha sido corregido, pero yo no cometí ese error en el cómputo de los problema.

Para confirmar (por usted y por mí):

Answer 1

EN ESTA PRIMERA SECCIÓN SE APLICA A LA PREGUNTA ORIGINAL, ANTES DE LA EDICIÓN

La respuesta en la parte de atrás de su libro es malo, a menos que usted haya escrito algo aquí. Aquí es un gráfico de los derivados de ambas funciones. Se puede ver que no son iguales. Ni siquiera tienen el mismo singularidades.

Si cambia la pregunta a

$$\int\frac{x e^{2x}}{(2x+1)^2}\,dx$$

a continuación, la respuesta en la parte de atrás del libro es correcta. ¿Necesitas ayuda con ese problema?

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AYUDA DE LA VERSIÓN REVISADA DE LA PREGUNTA

Al parecer usted desea ayudar con el problema corregido. Cuando usted está atascado en hacer una integración y sabes la respuesta correcta, una idea es escribir tomando la derivada de la respuesta y obtener el integrando de su pregunta. A continuación, puede hacer que todas las versiones anteriores.

Si que hace que la respuesta final parecen demasiado "arte de magia", como en este caso, reemplace la inversa-de-los-productos-de la regla con una integración por partes.

Aquí está el método que el libro probablemente quiere que usted use: ¿integración por partes, con $e^{2x}$ $u$ y el resto como $dv$.

¿Necesita más ayuda?