Homología y el grupo Fundamental de la $\mathbb{R}^4\setminus S^1$

Question

Yo estaba tratando de ayudar a alguien con este problema y me di cuenta de que no podía resolver yo mismo.

Deje $S^1=\{(x,y,0,0):x^2+y^2=1\}$ ser el círculo unidad en $\mathbb{R}^4$ y considerar la posibilidad de $M=\mathbb{R}^4 \setminus S^1$. Calcular $\pi_1(M)$$H_*(M)$.

Se debe tener trivial grupo fundamental y por lo tanto, trivial primer grupo de homología, que podemos probar por que muestra que cualquier bucle que "pasa a través de" el círculo se pueden deslizar y ser trivial. También, es la ruta de acceso conectado para $H_0(M)\cong \mathbb{Z}$. Pero yo no tengo ninguna buena idea de cómo la deformación se retracte de este espacio para algo más simple que podemos trabajar y encontrar la homología de grupos para $n\geq 2$. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Una forma es: $S^{n-1}\backslash S^{k-1}$ es homotopy equivalente a $S^{n-k-1}$, que es bastante fácil ver por $S^{n-1}\subset\mathbb R^n$, $S^{k-1}=S^{n-1}\cap\mathbb R^{k}$, $S^{n-k-1}=S^{n-1}\cap\mathbb (\mathbb R^{k})^\perp$. Del mismo modo tenemos también que $S^{n-1}\backslash(\{*\}\cup S^{k-1})$ ($*$ un punto que no se en $S^{k-1}$) es homotopy equivalente a $S^{n-k-1}\vee S^{n-2}$, $S^{n-2}$ es de alrededor de $*$. En el caso de ($\mathbb R^4=S^4\backslash\{*\}$) tenemos a$n=5$$k=2$, es decir, el resultado es $S^2\vee S^3$.