Edit: al Parecer, mi pregunta no era lo suficientemente claro, así que voy a ir paso por paso:
Voy a empezar desde el principio:
Reclamo : Vamos a $a_n$ ser la secuencia definida por $a_1=1, a_2=8,$ $a_n= a_{n-1} + 2a_{n-2} $ $ n \ge 3$
Prueba: Probar por la fuerte inducción que, para todos los $ n \in N$,
(*) $a_n= 3 \cdot2^{n-1} + 2(-1)^n$
Caso Base: Al $n= 1$, el lado izquierdo es $a_1=1$, y el lado derecho es $3 \cdot2^0 + 2(-1)^1 =1 $ . Así que los dos lados son iguales y (*) es verdadera para $n=1$.
Mismo es el caso con $n=2$. Ahora me muevo a la inducción paso.
Inducción paso: Vamos a $k \in N $ $k \ge 2 $ dado y supongamos que (*) es verdadera para n = 1, 2 ..... k. Entonces:
$a_{k+1} = a_k + 2a_{k-1}$ (por la recurrencia de la $a_n$ )
$=3*2^{k-1} + 2(-1)^k + 2(3*2^{k-2} + 2(-1)^{k-1}) $ ( $n=k$ $n= k-1$)
Esto es lo más lejos que me puse en la resolución del problema. Mi pregunta es ¿cómo puedo llegar a la solución final: $3*2^k + 2(-1)^{k+1}$ desde el último paso he hecho.
He probado a mí mismo, pero tengo lagunas en mis conocimientos de Álgebra, así que siempre he tenido diferentes resultados. En otras palabras, mi pregunta es si alguien puede resolver un problema de arriba, desde donde la dejé, paso por paso, señalar por qué y para qué se utiliza para llegar a la solución.
P. S espero que este sea lo suficientemente clara como ahora.Si no, por favor, hágamelo saber lo que no entiendo como @ctst hizo. También esta es mi primera vez, me lo ha pedido online para ayudar a resolver un problema de matemáticas o Matemáticas utilizadas Stackexchange.
