Bueno, esta es una pregunta de Cohn (3.1 ejercicio 3). Creo que he resuelto, pero yo no lo uso dos hipótesis principales.
Aquí está la pregunta:
Deje $(X, \mathscr{A}, \mu)$ ser una medida en el espacio, y deje $f$ $f_1,f_2,\ldots$ ser un valor real $\mathscr{A}$ medibles funciones en $X$, y deje $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser Borel medible. Mostrar que si $\{f_n\}$ converge a $f$ en casi todas partes, y si $g$ es continua en a $f(x)$ para casi todas las $x$, $\{g \circ f_n\}$ converge a $g \circ f$ en casi todas partes.
Aquí es lo que he venido para arriba con. Desde $f_n \to f$.e. podemos optar $N_1$ $\mu(N_1)=0$ que contiene todos los puntos de con $f_n(x)\not\to f(x)$. Del mismo modo, elija $N_2$ $\mu(N_2)=0$ que contiene todos los puntos donde se $g$ no es continua en a $f(x)$.
A continuación,$\mu(N_1 \cup N_2) = 0$. Deje $x \notin N_1 \cup N_2$ ser dado. Entonces a partir de la $x \notin N_1$ tenemos $f_n(x) \to f(x)$. Además, desde el $x \notin N_2$ tenemos que $g$ es continua en a $f(x)$, por lo que desde $\{f_n(x)\}$ es una sucesión convergente a $f(x)$ hemos $$ \lim_{n \to \infty}(g \circ f_n)(x)=\lim_{n \to \infty}g(f_n(x)) = g(\lim_{n \to \infty} f_n(x)) = g(f(x)) = (g\circ f)(x). $$ Por lo $g \circ f_n \to g \circ f$, excepto, posiblemente, en la medida de ajuste a cero de la $N_1 \cup N_2$, es decir, casi en todas partes. QED.
Pero yo no uso el hecho de que cualquiera de las $\{f_n\}$ son medibles, ni el hecho de que $g$ es Borel medible. Donde he ido mal?
