Yo estaba estudiando un artículo y el autor declaró que el CH implica que existe una función de $\omega_1 \setminus \omega$ en el conjunto de todos los contables de subconjuntos de a $\omega_1$ tal que para cada $\omega\leq \alpha<\omega_1$, $F(\alpha)\subset \alpha$. Afirmó que es una consecuencia trivial, pero no puedo ver por qué. Alguien puede decirme cómo demostrar la existencia de esta función?
Respuestas
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Deje $A=[\omega,\ \omega_1)=\{\alpha:\omega\le\alpha\lt\omega_1\}$ y deje $B=\{X\subseteq\omega_1:X\text{ is countable }\}$. El uso de CH es trivial para la construcción de una función inyectiva $g:B\to A$ $X\subset g(X)$ por cada $X\in B$; sólo la lista de los elementos de $B$ en un transfinito secuencia de longitud $\omega_1$ y el uso de la recursión transfinita. Deje $F$ ser la inversa de la función de $g$, extendida por el establecimiento $F(\alpha)=\emptyset$ siempre $\alpha$ no está en el rango de $g$.
Federico Poloni
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Aquí está una más "elemental" solución: Vamos a $M \prec H(\omega_2)$ ser de tamaño $\aleph_1$ y cerrada bajo contables de las secuencias. Una estructura de este tipo existe por $\mathsf{CH}$. Además, supongamos que el $M = \bigcup_{\alpha < \omega_1} M_\alpha$ donde $\langle M_\alpha\rangle_{\alpha < \omega_1}$ es un continuo aumento de la secuencia de contables primaria subestructuras de $H(\omega_2)$ (es decir, $M_\alpha \in M_{\alpha+1}$, y si $\alpha$ es un ordinal límite, $M_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} M_\beta$).
Deje $\delta_\alpha = \mathrm{sup}(M_\alpha \cap \omega_1)$. Tenga en cuenta que $M_{\alpha+1}\setminus M_\alpha$ es contable, y que $\delta_{\alpha +1} > \delta_{\alpha} + \omega$, y que si $s\in M_\alpha$ es una contables subconjunto de $\omega_1$,$s \subset \delta_\alpha$. También, por nuestra elección de $M$, cada contables subconjunto de $\omega_1$ se produce en algunos $M_\alpha$.
Así que ahora, definir una función $F$ dominio $\bigcup_{\alpha < \omega_1}[\delta_{\alpha+1}, \delta_{\alpha+1}+\omega)$ la satisfacción de las propiedades que se requieren, donde $F$ restringido a $[\delta_{\alpha+1}, \delta_{\alpha+1}+\omega)$ simplemente enumera los contables de subconjuntos de a$\omega_1$$M_{\alpha+1} \setminus M_\alpha$. Por nuestras observaciones, el rango de esta función es el conjunto de todos los contables de subconjuntos de a $\omega_1$, por lo que podemos extender $F$ en cualquier bien se comportaron de manera a $\omega_1 \setminus \omega$ para obtener una función de como sea necesario.
