Contráctiles bolas implica contráctiles espacio?

Question

Supongamos que usted tiene un espacio métrico $(X,d)$ y un punto de $x\in X$ de manera tal que cada bola de radio finito $B(x;r)$ es contráctiles. A continuación, se $X$ sí contráctiles?

Edit: me han pedido para proporcionar el contexto para esta pregunta, para salvarla de ser cerrado. Bien, la pregunta sólo se me ocurrió de la nada con ninguna aplicación particular en mente (aunque en general no me interesa nada más exótico que un CW-complejo). A mí me parece una forma interesante cuestión de si la contractibilidad de finito de bolas implica nada sobre la contractibilidad de un potencialmente infinito espacio de $X$. Ciertamente, cuando la $X$ es un finita de espacio métrico, la respuesta es sí. Y un poco de reflexión muestra que lo contrario es falsa en general. Así que lo que quedaba era para entender el caso de los infinitos espacios métricos, y Qiaochu la respuesta de la siguiente proporciona la respuesta para (espacios con homotopy tipo de) CW-complejos, que es lo suficientemente bueno para mí. (Como para que el "nivel" de la pregunta, el hecho de que he aceptado la respuesta debe indicar algo sobre eso.)

Answer 1

$X$ debe ser débilmente contráctiles en el sentido de que todos sus homotopy grupos (en cada punto de base) se desvanecen, como sigue: vaya a $f : S^n \to X$ ser un mapa continuo de una esfera en $X$. Desde $S^n$ es compacto, la imagen de $S^n$ es acotado, y así figura en algunos bola de radio finito, que podemos tomar WLOG de estar centrado en un determinado punto de base. Desde esta pelota es contráctiles, la imagen de $S^n$ puede ser contratado a un punto. Por lo $f$ es nulo homotópica wrt cualquier punto de base en la imagen de $f$.

Por Whitehead del teorema se sigue que, si $X$ tiene el homotopy tipo de un CW complejo, entonces es contráctiles. No sé cómo quitar esta hipótesis.