Cómo generalizar $(\wedge^2 \chi)(g) = \frac{1}{2}(\chi(g)^2-\chi(g^2))$?

Question

Uno puede descomponer $\bigotimes^2 V = \bigvee^2 V \oplus \bigwedge^2 V$, al pasar de la correspondiente descomposición de representaciones, decir al $V$ es un módulo para algunos finito grupo $G$. Tiene entonces la relación entre los personajes $\chi$, $\vee^2 \chi$ y $\wedge^2 \chi$ otorgada por el $G$-módulos $V$, $\bigvee^2 V$ y $\bigwedge^2 V$, dado por $(\wedge^2 \chi)(g) = \frac{1}{2} (\chi(g)^2-\chi(g^2))$$(\vee^2 \chi)(g) = \frac{1}{2} (\chi(g)^2 + \chi(g^2))$.

Más generalmente, se puede descomponer $\bigotimes^r V$ por Schur-Weyl dualidad en términos de la irreductible representaciones del grupo simétrico $S_r$. Podemos usar esto para dar fórmulas similares para las representaciones que vienen en esta descomposición?

Answer 1

A partir de la BRECHA manual:

La simetrización $\chi^{[\lambda]}$ de los caracteres $\chi$ con el carácter $\lambda$ del grupo simétrico $S_n$ grado $n$ está definido por $$\chi^{[\lambda]}(g) = \frac{1}{n!}\left( \sum_{{\rho \in S_n}} \lambda(\rho) \prod_{{k=1}}^n \chi(g^k)^{{a_k(\rho)}} \right)$$
donde $a_k(\rho)$ es el número de ciclos de longitud $k$$\rho$.

Usted también podría estar interesado en Murnaghan el perfeccionamiento de estas ideas que a menudo puede dar constituyentes más pequeños. Todas estas ideas son importantes, ya que sólo se basan en el mapa de poder de la tabla de caracteres, y así permitir una bonita encontrar rápidamente una gran cantidad de casi irreductible personajes de muy poca información (que es seguido por la liga de la leche, mágicamente, se hacen irreductible).

Answer 2

Bueno, sí, pero no estoy seguro de lo que Schur-Weyl dualidad tiene que ver con él. Los autovalores de a $g \in G$ actuando en $\Lambda^n V$ son de la escuela primaria simétrica polinomios de los autovalores de a $g$ actuando en $V$, por lo que el valor de los personajes se pueden leer en el polinomio característico de a $g$ como lineal endomorfismo de $V$. Del mismo modo, los autovalores de a $g$ actuando en $\text{Sym}^n V$ están homogénea simétrica polinomios de los autovalores de a $g$, y puede estar relacionado con el carácter de $\Lambda^n V$. Con un trabajo en el que uno puede escribir estos como combinaciones lineales de $\chi(g^m)$; por ejemplo,$\displaystyle \Lambda^3 \chi(g) = \frac{1}{6} \left( \chi(g)^3 - 3 \chi(g^2) \chi(g) + 2 \chi(g^3) \right)$.