La prueba de la generalización del teorema de Clairaut.

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente proposición:

Clairaut básica del teorema dice que si $f: \mathbb{R^n} \to \mathbb{R}$ $C^2$ función, $\partial_{ij}f = \partial_{ji}f$ todos los $1 \leq i, j, \leq n$.

Utilizar el teorema básico para probar la versión más generalizada de Clairaut del teorema de Clairaut del teorema. Es decir, si $f: \mathbb{R^n} \to \mathbb{R}$ $C^k$ función, $\partial_{i_1, ..., i_k} = \partial_{j_1, ..., j_k}f$ siempre $(i_1, ..., i_k)$ $(j_1, ..., j_k)$ son tuplas de índices que son re-arreglos de cada uno de los otros.

Estoy tratando de demostrar esto a través de la inducción. Yo podría utilizar un poco de ayuda en probar este. Es la Inducción de la mejor manera para esto? Tal vez hay una mejor manera?

Prueba por Inducción.

Caso Base: Vamos a $n = 1$, por lo que el $i = j = 1$.

Desde $f$ es de tipo $C^k$, se deduce que el $C^k \subseteq C^2$.

A continuación, por la básica del teorema de Clairaut, $\partial_{ij}f = \partial_{ji}f$ mantiene.

Supongamos que para todos los $1 < i,j \leq m$ que $\partial_{i_1, ..., i_m} = \partial_{j_1, ..., j_m}$ $\{i_1, ..., i_m\}$ $\{j_1, ..., j_m\}$ re-ordenamientos de cada uno de los otros.

Considere la posibilidad de $m + 1$, $\partial_{i_1, ..., i_m, i_{m+1}} = \partial_{j_1, ..., j_m, j_{m+1}}$

Estoy tratando de considerar las transposiciones de los índices, de manera que me permite usar mi hipótesis inductiva. Si puedo intercambiar los últimos$i_{m+1}$$i_1$, pero no estoy seguro de cómo invocar la IH cuidadosamente. Intercambiando la primera y la última me la puedo mostrar el uso de la IH en el primer m j términos, pero luego me he atascado tratando de mostrar que para m+1 j-esima plazo.

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Esto no es un problema acerca de la diferenciación, pero un problema en matemáticas discretas.

Denotar por $W_r$ el conjunto de palabras $\alpha=\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_r$ de la longitud de la $r\geq0$ sobre el alfabeto $[n]$. Para un $\alpha\in W_r$ denotar por $\hat\alpha$ de los asociados conjunto múltiple en $[n]$, es decir, la función de $\hat\alpha:\>[n]\to{\mathbb N}_{\geq0}$ dando la multiplicidad con la que cada letra (coordinar número) $j$ se produce en $\alpha$: $$\hat\alpha(j):=\#\bigl\{ k\in[r]\>\bigm|\>\alpha_k=j\bigr\}\qquad(1\leq j\leq n)\ .$$ Dos palabras $\alpha$, $\beta\in W_r$ con $\hat\alpha=\hat\beta$ se llaman equivalentes.

Para $\alpha\in W_r$ denotar por $D^\alpha f$ $r^{\rm th}$ derivada parcial de $f$ con respecto a $x_{\alpha_1}$, $x_{\alpha_2}$, $\ldots$, $x_{\alpha_r}$ en este orden. Entonces tenemos que demostrar las proposiciones

$${\cal P}_r:\qquad \alpha, \beta\in W_r\quad\wedge\quad \alpha\sim \beta\qquad\Rightarrow\qquad D^\alpha f=D^\beta f\ .$$ Desde ${\cal P}_0$ ${\cal P}_1$ son trivialmente verdadera asumimos $r\geq2$, ${\cal P}_s$ es cierto para $s<r$. Tomar dos palabras equivalentes $\alpha$, $\beta\in W_r$. A continuación, $$\alpha=\alpha'\alpha_r\>, \quad\beta=\beta'\beta_r\>, \qquad \alpha', \beta'\in W_{r-1}\ .$$

Si $\alpha_r=\beta_r$$\alpha'\sim\beta'$. La inducción de la hipótesis implica entonces$$D^\alpha f={\partial\over\partial x_{\alpha_r}}D^{\alpha'}f={\partial\over\partial x_{\alpha_r}}D^{\beta'}f=D^\beta f\ .$$

Si $\alpha_r\ne\beta_r$ $\beta_r$ tiene que ocurrir en $\alpha'$, y podemos decir lo siguiente: No es $\alpha''\in W_{r-2}$ tal que $\alpha'\sim\alpha''\beta_r$, y del mismo modo, no es $\beta''\in W_{r-2}$ tal que $\beta'\sim\beta''\alpha_r$. De $\alpha\sim\beta$ se sigue que $\alpha''\sim\beta''$. Por la hipótesis de inducción tenemos $$D^\alpha f={\partial\over \partial x_{\alpha_r}}D^{\alpha'} f={\partial\over\partial x_{\alpha_r}}D^{\alpha''\beta_r} f={\partial^2\over\partial x_{\beta_r} \partial x_{\alpha_r}}D^{\alpha''} f\ ,\tag{1}$$ y del mismo modo $$D^\beta f={\partial^2\over\partial x_{\alpha_r} \partial x_{\beta_r}}D^{\beta''} f\ .\tag{2}$$ La hipótesis de inducción y $\alpha''\sim\beta''$ implica que $D^{\alpha''} f=D^{\beta''} f$. Clairaut la versión original del teorema permite entonces a la conclusión de que los lados de la parte derecha de $(1)$ $(2)$ son iguales.