Holomorphic función es bijective si neutral de punto fijo

Question

Tengo una pregunta que pide

Si $S \subset \mathbb{C}$ es un dominio acotado y $f : S \to S$ es un holomorphic mapa tal que $f(p) = p$ $|f'(p)| = 1$ algunos $p \in S$, $f$ es bijective.

Soy consciente de esta pregunta: Bijective holomorphic mapa con un punto fijo ,lo que parece sugerir que el problema está mal. Sin embargo, en que la cuestión de la propuesta de contraejemplo es $g(z) = z + z^2$ y no puedo pensar en un dominio acotado tal que $g(S) \subseteq S$.

Esta pregunta es la segunda parte de una cuestión más amplia, la primera parte de la cual los estados que (bajo la misma notación) $f(z) = z$ todos los $z \in S$ si $f(p) = p$$f'(p) = 1$, así que estoy asumiendo que este resultado va a ser útil de alguna manera. También, ya que no hay un punto fijo involucrados, la respuesta es, sin duda va a utilizar algunas dinámicas complejas ideas en algún lugar.

Sé que el multiplicador de un punto fijo es la conjugación de todos los idiomas, por lo que pude conjugar $f$ por algunas mapa de conformación $\varphi$ conseguir $(\varphi \circ f \circ \varphi^{-1})'(p) = 1$? Si es así, a continuación, $f(z) = z$ todos los $z \in S$ por el resultado anterior. Esto es bastante optimista, y tengo mis dudas, pero es todo lo que tengo en este momento. Cualquier ayuda sería apreciado en serio!!

Answer 1

Desde $S$ es acotado, la familia

$$\mathscr{F} = \left\{f^n : n \in \mathbb{N}\right\},$$

donde $f^n$ indica el $n$veces recorrer, $f^0 = \operatorname{id};\; f^{n+1} = f\circ f^n$, es normal.

Deje $c = f'(p)$. Escoge un estrictamente creciente secuencia $(n_k)$ de los números naturales tal que $c^{n_k} \to 1$. Desde $\mathcal{F}$ es normal, pasando a una larga, podemos suponer que la secuencia de $\left(f^{n_k}\right)$ es localmente uniformemente convergente. Deje $g$ como el límite de la función. A continuación,$g(p) = p$$g'(p) = \lim\limits_{k\to\infty} c^{n_k} = 1$, lo $g$ no es constante. Por pointwise convergencia $g(S) \subset \overline{S}$, y en el abierto de asignación teorema, ya que $g$ no es constante, tenemos $g\colon S \to S$. La familia de itera $\mathscr{G} = \{g^n : n \in \mathbb{N}\}$ también es normal, y que implica la $g = \operatorname{id}$, ya que si

$$g(z) = p + (z-p) + a_k(z-p)^k + \dotsc,$$

con $k > 1$, tenemos

$$g^m(z) = p + (z-p) + m\cdot a_k(z-p)^k + \dotsc,$$

por lo $\frac{d}{dz}^k (g^m)(p) = m\cdot g^{(k)}(p)$. La normalidad de las $\mathscr{G}$ implica la normalidad de las $k$-th derivados de la recorre de $g$, y la secuencia de $\left(m\cdot g^{(k)}(p)\right)_{m\in\mathbb{N}}$ sólo ha convergente subsecuencias al $g^{(k)}(p) = 0$. (Esta es la primera parte del ejercicio.)

Por lo $f^{n_k} \to \operatorname{id}$ localmente uniformemente. Y eso implica que $f$ es bijective por Hurwitz del teorema.

Answer 2

Aquí hay dos consejos si asumimos $S$ se conecta: (1) Por el mapeo de Riemann teorema, puede suponer $S$ es la unidad de disco. (2) Entonces, ¿cuál es el Lema de Schwarz decir?

Voy a tener que reflexionar sobre la no simplemente conectado caso.