¿Cuál es la diferencia entre A y B?

Question

Quiero saber la diferencia entre el símbolo exponencial $a^x$ $e^x$ en símbolos matemáticos y por favor darme algunos ejemplos de ambos.

Hice esta pregunta porque de la derivada reglas de la tabla siguiente contiene tanto símbolo exponencial $a^x$ $e^x$ y no sé cuando debo usar uno de ellos y cuando debo usar el otro.

Derivado de la tabla de reglas:

_{[Derivado de las reglas de origen de la tabla]}

Answer 1

La letra de $e$ indica este número, mientras que la letra $a$ puede ser cualquier número real positivo.

Debido a $\ln(e)=1$ (esencialmente por definición), la regla de $$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$$ es consistente con, y, de hecho, un caso especial dela regla de $$\frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln(a)$$ No hay que "elegir cuando usar uno o el uso de los otros".

Answer 2

Usted debe pensar en la función exponencial como el objeto primitivo. Es el inverso del logaritmo $\log:(0,\infty)\rightarrow\mathbf{R}$ (cuando escribo $\log$ me refiero a que el registro natural, también se denota a veces como $\ln$, no el logaritmo en base 10). Es decir,$\log(e^x))=x$$e^{\log(y)}=y$$x\in\mathbf{R}$$y\in(0,\infty)$.

Si usted sabe lo que la función exponencial es, entonces usted puede entender la función dada por el envío de $x$ $a^x$para un número real positivo $a$. Por definición, $a^x$$e^{x\log(a)}$. Recuerda que aquí $\log(a)$ es sólo un número, el (natural) logaritmo de $a$. Manteniendo este en mente, y recordar que la derivada de la función exponencial es existir, puede utilizar la regla de la cadena para derivar

$(d/dx)(a^x)=(d/dx)(e^{x\log(a)})=e^{x\log(a)}(d/dx)(x\log(a))=\log(a)e^{x\log(a)}=\log(a)a^x$.

Answer 3

Los dos son básicamente la misma fórmula dicho de diferentes maneras. Pueden ser derivados de cada uno de los otros de la siguiente manera:

Tenga en cuenta que $$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x \ln(e) = e^x$$ is a special case of the formula for $a^x$ because $e$ has the special property that $\ln (e) =1$

También se $a^x=e^{\ln(a) x}$, que es otra forma en la derivada para $a^x$.

$$\frac{d}{dx}(e^{rx})=re^{rx}$$ by the chain rule. Let $r=\ln (a)$.

Answer 4

La derivada de $e^x$$e^x\ln(e)$, por lo que no es diferente en la que el respeto de otras bases. Pero $\ln(e)$$1$.

Eso es lo que es "natural" sobre el número de $e$.