¿La interpretación combinatoria de esta identidad de Gauss?

Question

Gauss ideó algunas identidades extrañas, es decir, $$ \sum_{n\in\mathbb{Z}}(-1) ^ nq ^ {n ^ 2} = \prod_ {k\geq 1} \frac {1-q ^ k} {1 + q ^ k}. $$

¿Cómo puede esto ser interpretado combinatorially? Me impresiona como siendo similar a las muchas identidades de partición. Gracias.

Answer 1

Hay una prueba clásica de Andrews que puedes encontrar en mi encuesta aquí (sección 5.5). También es una prueba de una identidad más general que dio en este trabajo (sección 2.2) biyectiva. ¡ Disfrute!

Answer 2

Aquí está una combinatoria de interpretación, pero no tengo idea de cómo convertirlo en una combinatoria de la prueba.

$\prod(1+q^k)$ es la generación de la función que cuenta el número de particiones en partes distintas. $\prod(1-q^k)$ es la generación de la función que cuenta el exceso de particiones en un número de partes distintas sobre las particiones en un número impar de partes distintas. Así

$$\sum_{n\in\mathbb{Z}}(-1)^nq^{n^2}\prod_{k\geq 1}\left(1+q^k\right)=\prod_{k\geq 1}\left(1-q^k\right)$$

considera particiones en una plaza y distintas partes y los estados que el exceso de tal particiones con una extraña cuadrados en particiones con un cuadrado (donde cada uno distinto de cero de la plaza se produce en dos colores, positivo y negativo) es igual al exceso de particiones en un número de partes distintas sobre las particiones en un número impar de partes distintas.