Si una función de dos variables tiene un único punto crítico, que es un máximo local, es un máximo global?

Question

$f(x,y)$ tiene derivadas parciales en todos los $\mathbb R^2$ y un único punto crítico en $(x_0,y_0)$ (máximo local). Es un máximo global?

Sé que en el compacto de los conjuntos, no es suficiente para decir que si un punto es el único máximo en el interior del conjunto, entonces es un máximo global, porque en la frontera del conjunto, podría suceder que la función tiene un máximo mayor que el interior de uno. Pero para toda la $\mathbb R^2$ no hay frontera, por lo tanto, puedo admitir que este punto es un punto de máximo global?

Answer 1

Hay una gran diferencia entre suponiendo que sólo hay un punto crítico y sólo hay un máximo local.

En el último caso contraejemplos abundan: una simple, es la función de $f(x,y) = x^4 + y^4 - x^2 - y^2$. Un punto crítico que requiere de $4x^3 - 2x = 0$$4y^3 - 2y = 0$, y la única máximo local es en $(0,0)$, pero la función es acotada.

En el primer caso, la única máximo local debe ser también un máximo global. Esto es una consecuencia del Paso de Montaña Lema. (Usted puede encontrar una muy alta potencia de la versión de aquí; las referencias a algunos finito dimensionales versión se puede encontrar en este MO discusión.)

El áspero intuición es este:

1. Etiqueta el máximo local como $x$. Por definición, como el máximo local si uno se aleja de ella un poco los valores que ir hacia abajo.
2. Supongamos por contradicción que existe otro punto de $y$ con valor por encima del máximo local que conocemos.
3. Tomar cualquier curva que conecta $x$$y$, y el valor de la función a lo largo de esta curva. Comienza alta en $f(x)$, disminuye un poco, y vuelve a subir a $f(y)$. Por lo que debe tener un mínimo. Así, para cada curva hay un mínimo.
4. Tome el máximo de los mínimos de entre todas las curvas, esto puede ser demostrado ser una silla de montar (fundamental) punto. Esto contradice la suposición de que el local max $x$ es el único punto crítico.