Evaluación de una integral lineal (Cálculo I)

Question

Me han dado: $$\int_{5}^{-2} [3f(x) + 1]\,dx$$

con la información adicional de que: $$\int_{0}^{5} f(x)\,dx = 10$$

y $$\int_{0}^{-2} f(x)\,dx = -4$$

Mi mente de lego lo ve como, ya que la suma de las dos piezas de la función = 6, entonces la integral es $3(6) + 1 == 19$

¿Es esa la forma correcta de ver el problema, o me estoy perdiendo algo?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Esa es casi la idea correcta.

Por linealidad de la integral tenemos $$\int_{-2}^5 (3f(x)+1)dx=3\int_{-2}^5 f(x)dx+\int_{-2}^5 1 dx=3\int_{-2}^5 f(x)dx+7.$$ Fíjese en el $+7$ en lugar del $+1$ porque estamos integrando la función constante $1$ en un intervalo de longitud $7$ . Además, es cierto que $$\int_{-2}^5 f(x)dx =\int_{0}^5 f(x)dx+\int_{-2}^0 f(x)dx$$ pero no se nos da $\int_{-2}^0 f(x)dx$ En cambio, tenemos $\int_{0}^{-2} f(x)dx$ . ¿Cómo se relacionan estas dos integrales, y puedes resolver el problema desde aquí?

Espero que eso ayude,

Answer 2

$$\int_5^{-2}(3f(x)+1)\,dx = 3\int_{5}^{-2}f(x)\,dx + \int_5^{-2}1\,dx.$$

Pero:

1. $\int_5^{-2}1\,dx\neq 1$ .

2. $\int_5^{-2}f(x)\,dx \neq \int_0^5f(x)\,dx + \int_0^{-2}f(x)\,dx$ .

En cambio, recuerda que

• $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$ ;
• $\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$ ;
• $\int_a^b 1\,dx = b-a$ .