hallar la potencia de la serie representación de (3x^2)/(1-x)^2

Question

Estoy tratando de encontrar el poder de la serie de la representación de la función de $\frac{3x^2}{(1-x)^2}$. Hasta ahora mi trabajo me ha llevado a este punto:

$$\frac{3x^2}{(1-x)^2}={\left(3x\left(\frac{1}{1-x}\right)\right)}^2={\left(3x\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}\right)}^2$$

Es esta matemática correcto? Donde puedo tomar desde aquí si lo es?

Answer 1

Realmente, no es ese el enfoque que usted desea, y usted tiene un error, porque el $3^2\ne 3$. Es también (en muchos casos) un verdadero dolor de cabeza para la plaza de potencia de la serie. Mejor hacerlo de esta manera:

$\begin{align} f(x)=\frac{3x^2}{(1-x)^2}=3x^2\cdot\frac{1}{(1-x)^2}&=3x^2\cdot\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{1-x}\right]\\ &=3x^2\cdot\frac{d}{dx}\left[\sum_{n=0}^\infty x^n\right]\\ &= 3x^2\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}\\ &=\sum_{n=1}^\infty 3nx^{n+1}\\ &=\sum_{n=2}^\infty 3(n-1)x^n \end{align}$

Answer 2

Su trabajo es correcto (salvo que el $3$ no debe ser cuadrado): $$\frac{3x^2}{{\left(1-x\right)}^2}=3x^2\left(\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}\right)^2\ne3^2x^2\left(\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}\right)^2$$ Sin embargo, una manera más fácil de proceder es, para empezar: $$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}$$ y tomamos la derivada de ambos lados. Esto nos da: $$\frac{1}{{\left(1-x\right)}^2}=\sum_{n=1}^{\infty}{nx^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\left(n+1\right)x^n}$$ Se puede tomar desde aquí?

Edit: por lo general es engorroso a la plaza de potencia de la serie. Si tiene cuidado de multiplicar una serie de por sí, usted encontrará que: $$\left(\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}\right)^2=\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{n-1}{a_ka_{n-k}}\right)x^n}$$ El cuadrado de la serie geométrica no es demasiado complicado, sin embargo, desde la $a_n=1$ todos los $n$. Usted puede comprobar por sí mismo que esta fórmula da el mismo resultado que el anterior.