Creo que me estoy poniendo un poco mejor en estos MCT, DCT-tipo de ejercicios. La cuestión es mostrar/demostrar la existencia y la finitud (si se aplican) a la siguiente función:
$$f(x)=\sin \left(\dfrac1{x^2} \right)$$
Donde sea aplicable quiero mostrar de manera tan rigurosa como sea posible, la justificación de la existencia, etc. Por ejemplo, no es suficiente decir simplemente, "esto existe por el MCT"; más bien, necesito mostrar que las condiciones de medición, monótona creciente, etc. que se cumplan.
Trabajo/intento de solución:
En primer lugar, aunque tengo una limitada experiencia con este tipo de integral, creo que la función puede ser re-escrita de la siguiente manera:
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{x^{2(2n+1)}(2n+1)!}$$
Si tengo este correctamente (he intentado extrapolar a partir de una integral de la tabla que he encontrado con respecto a $\sin\left(\dfrac1x \right)$, pero por favor me corrija si me equivoco), puedo utilizar Convergencia Dominada para mostrar que la integral existe. Es decir,
Si $f_1,f_2,...$ son medibles funciones y $|f_n|\le g$ $\mu$integrable función, $g$, y si $f_n\to f$, $\mu$-una.e $\lim_{n\to\infty}\int f_n d\mu\to\int fd\mu$.
En primer lugar, debo mostrar la mensurabilidad. Yo creo que la continuidad en el intervalo en cuestión, $(0,\infty)$, es suficiente para demostrar la mensurabilidad, ¿correcto?
A continuación, defina
$$S_n(x):=\sum_{n=0}^{t}\frac{(-1)^n}{x^{2(2n+1)}(2n+1)!}\to f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{x^{2(2n+1)}(2n+1)!}$$
A continuación, defina los
$g(x)=\dfrac1x\ge |f_n|,\forall x>0$
y por lo tanto la conclusión por el Teorema de Convergencia Dominada, que $\displaystyle \int_{(0,\infty)}\sin \left(\dfrac1{x^2} \right)d\mu$ existe.
Por favor, comentar, añadir respuestas, crítica, dime donde he cometido errores, etc. Estoy aprendiendo a hacer esto por mi cuenta por lo que cualquier y todas las mejoras son bienvenidas.
Desde aquí tengo que mostrar si esta integral es finito o infinito. Es allí una manera de mostrar esto sin un cálculo explícito de la integral?
