Una pregunta sobre el Bebé Rudin Teorema 2.27 (a)

Question

Teorema 2.27: Si $X$ es un espacio métrico y $E \subset X$, $\bar E$ (el cierre de $E$) está cerrada.

La prueba dice: Si $p \in X$ $p \not \in \bar E$ $p$ no es ni un punto de $E$ ni un punto límite de $E$. Por lo tanto $p$ tiene un barrio que no se cruzan $E$. El complemento de $\bar E$ es, por tanto, abierto. Por lo tanto $\bar E$ es cerrado.

Estoy particularmente cuestionamiento acerca de "por lo tanto $p$ tiene un barrio que no se cruzan $E$. El complemento de $\bar E$ es, por tanto, abierto." También debemos demostrar que el barrio de $p$ también no se cruzan $E'$ (el conjunto de todos los límites de los puntos de $E$)?

Esto es lo que he tratado de demostrar, por contrapositivo: "Para cualquier $p \in {\bar E}^c$ si $N_r(p) \cap E' \ne \emptyset$$N_r(p) \cap E \ne \emptyset$".

Prueba: Para cualquier $p \in {\bar E}^c$ si $N_r(p) \cap E' \ne \emptyset$, luego tomar $q \in N_r(p) \cap E'$, $\exists N_h(q)$ s.t. $N_h(q) \subset N_r(p)$. Desde $q \in E'$ es un punto límite, $N_h(q) \cap E \ne \emptyset$, y, por tanto,$N_r(p) \cap E \ne \emptyset$.

No estoy muy seguro de si esto es necesario. O es que hay algo que me perdí de Rudin la prueba?

Answer 1

$p$ fue elegido al azar, por lo que podría ser cualquier punto de no $E$, no en $E'$ cualquier $p$ fue explícitamente descartado como un punto límite de $E$, de ahí la existencia de un barrio de $p$ no se cruzan $E'$.

La prueba está bien. Usted ha explicado muy bien por qué Rudin la reclamación de la siguiente manera.

Rudin es notorio para salir de algunos de los "vínculos" entre "stepping stones" (pasos en sus pruebas) "para el lector". Usted acaba de lleno en algunos de esos no escritas detalles, y estás en lo correcto en esos detalles. Siempre es una buena idea para hacerlo al leer cualquier texto, cuando algo no es inmediatamente aparente, mientras que la lectura a través de una prueba. En particular, que a menudo puede ser el caso cuando la lectura Rudin. Al revisar las pruebas, entonces, que el "trabajo adicional" pagará apagado, como se le han realizado las conexiones y, a continuación, ser capaz de releer Rudin las pruebas y ellos siguen sin mucho esfuerzo.

A veces el relleno en los detalles puede equivaler a simplemente "desembalaje" de las definiciones de los términos utilizados en un teorema (de lo que significa ser un punto límite, por ejemplo). Usted encontrará que es un sonido manera de aprender las definiciones de dentro a fuera, y a la revisión de los teoremas cuando se utilizan en posteriores pruebas. (Con toda honestidad, yo personalmente ", escribió, amplió, reescribió, extendido, reescribir de nuevo" prácticamente todas Bebé Rudin cuando encontré por primera vez el texto.

Answer 2

Para amplificar un poco en @ncmathsadist el lacónico comentario: es una cuestión de la negación de una definición. Si $p$ no es un punto límite, a continuación, algunas barrio de $p$ no se cruzan $E$. Pero entonces cada punto de $q$ en este barrio que tiene su mismo barrio en el que no se cruzan $E$, lo $q\notin \bar E$.

P. S. Rudin es un ambicioso elección para el auto-estudio. Sigo [quejarse de que él no atrae de una sola imagen, presumiblemente como una cuestión de orgullo. Dibujar un montón de fotos!

Answer 3

Rudin la prueba está en el clavo. Él eligió un punto arbitrario y mostraron la existencia de la deseada barrio.