Encuentre las integrales que son cero

Question

Se nos da $I_m = \int_0^{2\pi} \cos(x) \cos(2x) \dots \cos(mx)dx$; es decir,

$$I_m=\int_0^{2\pi}\prod_{k=1}^m\cos{k x}\,dx.$$

La tarea es encontrar ese $m \in [1\dots 10]$, lo $I_m \neq 0$.

He calculado todos estos integrales con el uso de MATLAB y se encontró que $I_m \neq 0$ mantiene para $m \in \{3,4,7,8\}$. Esos son los casos, cuando la expresión después de la integración contiene algún otro término, sino $sin(x)$, algo así como: $\frac {x}{C}$, C - constante.

Pero esta tarea se supone que para ser resueltos en un puro enfoque analítico. Quizá incluso es posible encontrar la $m$ valores sin la computación a todos los integrales, ya que parece que es casi posible hacerlo sólo con la mano.

Answer 1

$$ \begin{align} &2^{-m}\int_0^{2\pi}(e^{ix}+e^{-ix})(e^{2ix}+e^{-2ix})\cdots(e^{mix}+e^{-2mix})\,\mathrm{d}x\ne0\\ &=2^{-m}\int_0^{2\pi}e^{-i\frac{m(m+1)}{2}x}(e^{2ix}+1)(e^{4ix}+1)\cdots(e^{2mix}+1)\,\mathrm{d}x\ne0 \end{align} $$ precisamente cuando hay un término con exponente $0$ y que sólo sucede cuando se $\frac{m(m+1)}{2}$ puede ser escrito como la suma de números enteros. Que es al $m(m+1)$ es divisible por $4$. Por lo tanto, la integral es cero no precisamente al $m\equiv0\pmod{4}$ o $m\equiv3\pmod{4}$.