Sitios para étale $G$-espacios

Question

Este es un problema de Poleas en la Geometría y la Lógica por MacLane y Moerdijk (problema 3.10)

Supongamos que tenemos un espacio de $X$ en el que un grupo discreto $G$ hechos por homeomorphisms. Dado un étale espacio de $p:E \rightarrow X$, decimos que es una étale $G$-espacio si tiene un $G$-acción que conmutan con a $p$. Estoy a mostrar estas cosas forman un topos de Grothendieck cocinando un sitio explícito. Ahora, la segunda parte del problema pregunta para demostrar que si $G$ actúa correctamente de forma discontinua en $X$, a continuación, estos son en realidad los $Sh(X/G)$. Creo que esto es bastante sencillo, ya que en este caso los cocientes por $G$ pullbacks a lo largo del mapa $X \rightarrow X/G$ preservará "étaleness".

En el otro extremo, yo creo que si $G$ actos trivialmente en $X$ ($xg = x$ para todos los $x,g$), en un étale $G$-el espacio es sólo un étale espacio con fibra de preservar homeomorphisms para cada una de las $g \in G$. Parece que, en este caso, parece que la estructura puede ser visto como un functor de $G^{op}$ $Sh(X)$$G$- mapa entre dos étale $G$-establece sólo será una transformación natural entre dos de estos functors. El ejercicio anterior se muestra cómo hacer que tales categorías en una gavilla en un sitio. En este caso, el sitio se $Open(X)\times G$, con las cubiertas de la forma $S \times t_\star$ donde $t_\star$ es la máxima tamiz.

No estoy seguro de cómo obtener entre estos dos extremos! Una característica en común entre estas dos cosas es lo que nos parece ser la construcción de las poleas en una categoría cuyos objetos son $G$de las órbitas de $X$.

Las respuestas son buenas, pero la información sobre cómo pensar acerca de estas cosas es preferido!

Answer 1

Su intuición es correcta. Consideremos la categoría de $\mathcal{C}$ cuyos objetos son subconjuntos abiertos de $X$ y cuyos morfismos $U \to V$ son triples $(g, U, V)$ donde$g \in G$$g \cdot U \subseteq V$. Observe que un isomorfismo de clase en esta categoría es $G$-órbita en el marco de abrir los subconjuntos de a $X$, y que el automorphism grupos son los adecuados estabilizador de subgrupos.

¿Qué presheaves en $\mathcal{C}$? Bien, para empezar, es un presheaf en $X$ (desde la categoría de abrir los subconjuntos de a $X$ es un (no completo) subcategoría de $\mathcal{C}$). Es más, no existe una "acción" de $G$ en las secciones en que se respeta la acción en $X$. Así que esto comienza a parecerse a un buen candidato para un sitio para $\mathbf{Sh}_G (X)$.

Ahora debemos sueño de una topología en $\mathcal{C}$. La manera más fácil de hacer esto es construir un functor $i : \mathcal{C} \to \mathbf{Sh}(X)$ y equipar $\mathcal{C}$ con el más grande de la topología que hace que $i$ en un morfismos de sitios. Deje $V$ ser un objeto en $\mathcal{C}$, y definir $i (V)$ a ser la presheaf en $X$ dada por $$i (V) (U) = \mathcal{C}(U, V)$$ con la evidente mapas de restricción. No es difícil ver que esto es una gavilla en $X$. Luego de definir la cobertura a las familias en $\mathcal{C}$, los que se envían conjuntamente epimorphic familias en $\mathbf{Sh} (X)$.

Todavía hay varios detalles a ser verificado, por ejemplo, se debe comprobar que esta realmente define una topología en $\mathcal{C}$,$i : \mathcal{C} \to \mathbf{Sh} (X)$, por lo que se define es un functor, y que el resultado de la categoría de las poleas es realmente lo correcto. Eso se lo dejo a usted – pero tengo que admitir que no he hecho la comprobación de mí, así que lo que he dicho aquí podría estar completamente equivocado.