Operador acotado que no alcanza su norma

Question

¿Qué es un operador acotado en un espacio de Hilbert que no alcanza su norma? Un ejemplo en $L^2$ o $l^2$ sería preferible.

Todos los ejemplos sencillos que he visto (el operador identidad, el operador desplazamiento) alcanzan sus normas respectivas.

Answer 1

Un ejemplo en $L^2[0,1]$ consideremos el operador de multiplicación por $x$ es decir $(Tf)(x) = x f(x)$ .

Answer 2

En espacios de dimensión finita todo operador es normativo: utilizamos el hecho de que la bola unitaria es compacta. Entonces $\{Tx,\lVert x\rVert=1\}$ está acotado porque es la imagen de un conjunto compacto por un mapa continuo.

De lo contrario, no es cierto. Considere $H:=\ell^2(\Bbb N)$ . Defina $Tx:=\sum_{n\geq 1}\left(1-\frac 1n\right)\langle x,e_n\rangle e_n$ donde $e_n$ es la secuencia cuyo $n$ -ésimo término es $1$ los demás $0$ . La norma de $T$ es $1$ pero para $x\neq 0$ , $$\lVert Tx\rVert^2=\sum_{n\geq 1}\left(1-\frac 1n\right)^2|\langle x,e_n\rangle|^2\leq \sum_{n\geq 1}|\langle x,e_n\rangle|^2=\lVert x\rVert^2.$$ La última desigualdad no es una igualdad, ya que $\langle x,e_n\rangle\neq 0$ para algunos $n$ .

Answer 3

En $\ell^2(\mathbb{N})$ Toma $T\in B(\ell^2(\mathbb{N}))$ ser el mapa $$ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\mapsto \left((1-\frac1n)a_n\right)_{n\in\mathbb{N}} $$

Dado que cada coeficiente se multiplica por un escalar menor que $1$ , $T$ es contractiva (es decir $\|T\|\leq1$ ). También, $\|Te_n\|=(1-\frac1n)$ donde $e_n$ son los elementos de la base canónica, por lo que $\|T\|=1$ . Y $$ \|T(a_n)\|^2=\sum_n|(1-\frac1n)a_n|^2<\sum_n|a_n|^2=\|(a_n)\|_2^2, $$ por lo que nunca se alcanza la norma.

Edita: Otro ejemplo fácil es el siguiente. Sea $H=L^2[0,1]$ y que $T$ sea el operador tal que $$ (Tf)(t)=tf(t). $$ Entonces es fácil ver que $\|T\|=1$ (utilizando funciones compatibles con $1$ ). Y, dado cualquier $f\in L^2[0,1]$ si $f\ne0$ entonces $$ \|Tf\|_2^2=\int_0^1t^2|f(t)|^2<\int_0^1|f(t)|^2=\|f\|_2^2 $$ (la desigualdad tiene que ser estricta: de lo contrario obtenemos $\int_0^1(1-t^2)|f(t)|^2=0$ lo que implica $f=0$ ).

Answer 4

Es similar a otras respuestas, pero un poco más general. Considere una secuencia $c=\{c_n\}\in\ell^\infty(\mathbb{Z})$ tal que $|c_n|<\sup|c_n|$ por ejemplo $c_n$ puede ser positivo y crecer a $1$ .

Defina $T:\ell^2(\mathbb{Z})\to \ell^2(\mathbb{Z})$ por $$T:x=\{x_n\}\mapsto Tx = cx =\{c_nx_n\}.$$

Entonces, para cualquier $x=\{x_n\}\in\ell^2$ tenemos $$\|Tx\|^2 = \sum_{n\in\mathbb{Z}} |c_nx_n|^2<\sum_{n\in\mathbb{Z}} \sup|c_n|^2|x_n|^2= \sup|c_n|^2\|x\|^2\tag{1}$$ es decir $$\|T\| \leq\sup|c_n|.$$ Por otra parte, la elección $x=e_n=\{\delta_{kn}\}_{k\in\mathbb{Z}}$ donde $\delta_{kn}$ es el Kronecker- $\delta$ (que es 0 siempre que $k\ne n$ y 1 si $k=n$ ) muestra que $$\sup_{\|x\|\leq1}\|Tx\|\geq\sup_{n}\|Te_n\|=\sup_n|c_n|$$ y por lo tanto $$\|T\| =\sup|c_n|.\tag{2}$$ Ahora bien, (1) y (2) demuestran que la norma nunca se alcanza.

Answer 5

Tomaría un subconjunto contable $(b_n)$ de un ONB, $n\in \mathbb N$ . Y luego definir un mapa lineal a través de $b_n \mapsto \frac{n}{n+1} b_n$ para todos los vectores de su subconjunto contable. Todos los demás vectores de su ONB se asignarán a $0$ . Esto puede verse como un mapa lineal en un subconjunto denso que está limitado por $1$ por lo que existe una continuación acotada en todo el espacio de Hilbert. Por esta continuación ningún vector de norma $1$ en un vector de norma 1. Esto puede verse escribiendo este vector en representación ONB.