¿Cerrado Gráfico Teorema implica Uniforme Acotamiento Principio funcionales?

Question

Para Funcionales, Uniforme Acotamiento Principio puede ser reformulado como el siguiente :

Deje ${X}$ ser un Espacio de Banach, $K$ a ser el campo($\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$). Deje $\mathcal{F}$ ser el subconjunto de $BL(X,K)$ tal que para cada una de las $x \in X$, la $\{F(x): F \in \mathcal{F}\}$ está delimitado en $K$. A continuación, $\{||F||:F \in \mathcal{F}\}$ está delimitado yo.e uniformemente acotada en el unitball de $X$.

El cerrado gráfico teorema establece que:

Deje $X$ $Y$ ser Espacios de Banach. Deje $F: X \to Y$ ser un cerrado Lineal mapa. A continuación, $F$ es continua.

¿Cerrado Gráfico Teorema implica Uniforme Acotamiento Principio?

No sé si es posible o no. Pero para que esto sea posible, todo lo que necesitas hacer es encontrar un mapa de $X$ $K$que es lineal y cerrado. La primera cosa que viene a mi mente es : $\sup\{F(x)|F \in \mathcal{F}\}$. Pero esto no es lineal en el mapa. Así no funciona. Puedo tomar un poco de desvío de aquí y de uso Zabreiko del Teorema a probar (ya $\sup\{F(x)|F \in \mathcal{F}\}$ es un seminorm, que es countably subadditive). Pero que se desvía de lo que quiero demostrar aquí.

Answer 1

Sí, lo es. Considerar el mapa $$ \Phi:X\to\ell^{\infty}\left(\mathcal{F}\right),x\mapsto\left(f\left(x\right)\right)_{f\in\mathcal{F}}. $$ Por supuesto, $\Phi$ está bien definido y $X,\ell^{\infty}\left(\mathcal{F}\right)$ son espacios de Banach. Desde cada una de las $f\in\mathcal{F}$ es un continuo lineal funcional, es fácil ver que $\Phi$ ha cerrado gráfico.

Por lo tanto, es continua y por lo tanto limitada, por lo que $$ \sup_{\left\Vert x\right\Vert \leq1}\left\Vert \Phi\left(x\right)\right\Vert _{\ell^{\infty}\left(\mathcal{F}\right)}=\sup_{\left\Vert x\right\Vert \leq1}\sup_{f\in\mathcal{F}}\left|f\left(x\right)\right|=\sup_{f\in\mathcal{F}}\sup_{\left\Vert x\right\Vert \leq1}\left|f\left(x\right)\right|=\sup_{f\in\mathcal{F}}\left\Vert f\right\Vert $$ es finito.

De hecho, una fácil modificación de la anterior prueba demuestra que el uniforme acotamiento principio es una consecuencia de la cerrada gráfico teorema.

Muy buena pregunta, por cierto!

EDIT: el principio según El cual he aplicado aquí es que uno puede "ocultar" una no linealidad (en este caso, el sup es el valor absoluto) en una norma (en este caso el $\ell^\infty (\mathcal{F})$ norma). Este es un buen truco (o técnica) para recordar.