Cómo probar esta desigualdad $(y-z)^2>8(y+z)$

Question

Para tres distintos modelos positivos entero $x,y,z$ tal

$$(x+y)(x+z)=(y+z)^2$$

mostrar que

$$(y-z)^2>8(y+z)$$

Mi idea: desde $$x^2+(y+z)x+yz-(y+z)^2=0$$ así $$\Delta_{x}=(y+z)^2-4yz+4(y+z)^2=5(y+z)^2-4yz=m^2$$, entonces yo no puedo

Answer 1

WLOG $y<z$, así que vamos a $z=y+a$ donde $a>0$. Entonces el discriminante es \begin{align*}5(y+z)^2-4yz&=5(2y+a)^2-4y(y+a)=5(4y^2+4ya+a^2)-4y^2-4ya\\ &=4(4y^2+4ya+a^2)+a^2=4(2y+a)^2+a^2=(4y+2a)^2+a^2\end{align*} Lo que si es un cuadrado, entonces es la siguiente plaza $$(4y+2a+1)^2=(4y+2a)^2+2(4y+2a)+1$$ y $$a^2=4(2y+a)+1\implies 8y+5=a^2-4a+4=(a-2)^2,$$ pero eso no es posible ya que las plazas no ser $5$ mod $8$ (el resto sólo puede ser $0$, $1$, o $4$).

O debe ser al menos $$(4y+2a+2)^2=(4y+2a)^2+4(4y+2a)+4,$$ entonces $$(z-y)^2=a^2>4(4y+2a)=8(2y+a)=8(y+z).$$