¿Cómo puedo mostrar que $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1\end{pmatrix}$?

Question

Bueno, la tarea original fue a averiguar lo que la siguiente expresión se evalúa como cualquier $n$.

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}^{\large n}$$

Probando diferentes valores de $n$, encontré el patrón: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}^{\large n} = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ $

Pero todavía tengo que averiguar cómo demostrar algebraicamente.

¿Sugerencias?

Answer 1

Utiliza la inducción $n$.

(1) demostrar el caso base (trivial), tal vez incluso establecer el caso para $n = 2$ (dos casos base aquí no son necesarios, pero como le pareció, ayuda a revelar el patrón).

(2) entonces asumir que tiene $n = k$.

(3) finalmente, muestran que de esta hipótesis, sostiene $n = k+1$.

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Ha establecido los casos base. Ahora, (2) asumir la hipótesis inductiva (IH) $$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}^k = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1\end{pmatrix}.$ $

Entonces, $$\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{k + 1} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}^k \quad \overset{IH}{=} \quad \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\quad\cdots$ $

Creo que se puede tomar desde aquí!

Answer 2

Sugerencia:

Use inducción matemática.

Answer 3

Potencias de matrices ocurren para resolver relaciones de recurrencia.

Si se escribe $$\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} $$ entonces claramente $$\begin{pmatrix} x_{n} \\ y_{n} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} ^ n\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} $ y $$ icadas {n+1} x_n = y_n, \qquad y_ {n+1} = y_n $$ de que tienes $$ x_n = x_0 + y_0 n\, \qquad y_n = y_0 $$ se da la primera columna de $A^n$ % tomando $x_0=1$y $y_0=0$, y $(1 \ 0)^T$.

La segunda columna es dado tomando $x_0=0$ y $y_0=1$, y $(n \ 1)^T$.

Answer 4

Geométricamente, la matriz representa una transformación de esquileo que conserva la dirección horizontal y cambia la dirección vertical por la dirección horizontal. ¿Qué pasa geométricamente si se aplica la cizalla transformación $n$ vez?