Puede $n$ hyperplanes independiente de cualquier $\sum_{k = 0}^{m} \binom{n}{k}$$\mathbb{R}^m$?

Question

A partir de esta respuesta, sabemos que $n$ aviones se partición $\mathbb{R}^m$ a un máximo de $N_{m,n} = \sum_{k = 0}^{m} \binom{n}{k}$ regiones. Ahora le pedimos a la inversa: dado cualquier $N_{m,n}$ puntos en posición general en $\mathbb{R}^m$ do no siempre existe $n$ hyperplanes que va a separar a estos puntos?

E. g. con $N_{2,3} = 7$$\mathbb{R}^2$, la hipótesis es que no siempre existe $n = 3$ líneas que completamente independiente de cualquier $7$ puntos.

Answer 1

Cómo sobre un regular heptagon? Cada línea tiene que separar los puntos en un grupo de tres y un grupo de cuatro. Dos líneas le dan un punto aislado y dos pares. Pero no puedo encontrar una tercera línea para dividir los tres pares.