¿Alguien conoce un producto "estrella" definido de la siguiente manera?

Question

Buenos días, Estoy buscando un producto particular entre matrices y vectores definidos de la siguiente manera:

$ (A\star v)_i=\prod_{j}v_j^{a_{ij}} $

Puedo darle también un ejemplo: considere

$ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right) \qquad v=\left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right) $

El producto estrella da

$ A\star v=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right)\star \left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} ab^2 \\ a^3b^4 \end{array}\right) $

Me encontré con este tipo de definición cuando estaba tratando con el cambio de variables para algún tipo de parametrización de los caracteres de una representación. En particular, utilizaban el $\mathfrak{SU}(3)_{\mathbb{C}}$ Matriz de Cartan como la anterior $A$ matriz de tal manera que pueden cambiar las variables para una representación dada en variables en la representación de la matriz de Cartan. ¿Es esto algo que puedo encontrar en algún libro? Lo he intentado en google pero creo que no se llama producto estrella, o en todo caso es algo tan específico que no he podido encontrar ninguna definición adecuada.

Última pregunta: Si este tipo de cambio de variables tiene sentido, ¿es posible hacerlo de forma que no sea invertible? Me explico: si tengo algunas variables en una representación, por ejemplo $x_1,x_2,x_3$ es posible encontrar una matriz no cuadrada de tal manera que se pueda expresar como una variable $z$ ? Creo que puedo reformular: ¿no hay matrices de Cartan cuadradas?

Answer 1

Si $M$ es un monoide y $k$ es un anillo conmutativo, entonces podemos considerar el álgebra monoide $k[M]$ . Cuando $M = \mathbb{N}^n$ esto recupera el anillo polinómico sobre $k$ en $n$ variables, y cuando $M = \mathbb{Z}^n$ esto recupera el anillo polinómico de Laurent sobre $k$ en $n$ variables.

Si $f : M \to N$ es un homomorfismo de monoides, obtenemos un homomorfismo inducido de álgebras monoides $k[f] : k[M] \to k[N]$ .

Por último, si $M = \mathbb{N}^m, N = \mathbb{N}^n$ , entonces los homomorfismos $M \to N$ corresponden exactamente a $n \times m$ matrices sobre $\mathbb{N}$ que se componen como las matrices, y de forma similar para $\mathbb{Z}^m$ y $\mathbb{Z}^n$ . Estos inducen homomorfismos sobre álgebras polinómicas resp. de Laurent que corresponden a su operación.