encuentra la suma de $n$ términos de la serie $1+4w+9w^2+...+n^2w^{n-1}$ donde $w$ $n$ raíz de th de la unidad

Question

Quiero encontrar la suma de los $n$ términos de la serie $$1+4w+9w^2+...+n^2w^{n-1}$$ donde$w$ $n$th raíz de la unidad.

Deje $$S_n = 1+4w+9w^2+...+n^2w^{n-1}$$ a continuación, $$ wS_n=w+4w^2+....+(n-1)^2w^{n-1}+n^2$$ por lo tanto, $$(1-w)S_n=1+3w+5w^2+...+(2n-1)w^{n-1}-n^2$$

Ahora cuando puedo encontrar la suma de $$ 1+3w+5w^2+...+(2n-1)w^{n-1}$$ it comes out to be $$\frac{-2n}{1-w}$$ and after substituting we get $$ S_n= \frac{-2n}{(1-w)^2}-\frac{n^2}{1-w}$$

El problema es que mi libro no está de acuerdo con mi respuesta La respuesta es $$\frac{n[(1-w)n+2]}{3w}.$$

Answer 1

Me parece $(1-w)S_n=-n^2+1+3w+5w^2+...+(2n-1)w^{n-1}$

Deje $U_n=1+3w+5w^2+...+(2n-1)w^{n-1}$

$(1-w)U_n=1+2(w+w^2++w^{n-1})-(2n-1)=-2n+2(1+w+w^2++w^{n-1})$

Ahora $1+w+w^2++w^{n-1}=\dfrac{1-w^n}{1-w}=0$