Dejemos que $u(\theta, r, t) = T(t) R(r) \Phi(\theta)$ entonces usando este expresión de la $\Delta^2$ en coodniatos polares y separando las variables se obtiene $$ \frac{T'}{T} + \frac{\frac{1}{r}\left( r\left( \frac{1}{r}\left( rR' \right)' \right)' \right)'}{R} + \frac{2}{r^2} \frac{\Phi''}{\Phi}\frac{R''}{R} + \frac{1}{r^4} \frac{\Phi''''}{\Phi} - \frac{2}{r^3} \frac{\Phi''}{\Phi} \frac{R'}{R} + \frac{4}{r^4} \frac{\Phi''}{\Phi} = 0. $$ Tomando $\Phi = \sin m\theta,\cos m\theta$ da $\frac{\Phi''}{\Phi} = -m^2$ Así que $$ \frac{T'}{T} + \frac{\frac{1}{r}\left( r\left( \frac{1}{r}\left( rR' \right)' \right)' \right)'}{R} - \frac{2m^2}{r^2}\frac{R''}{R} + \frac{m^4}{r^4} + \frac{2m^2}{r^3} \frac{R'}{R} - \frac{4m^2}{r^4} = 0. $$ Dejemos que $$ \lambda^4 = -\frac{T'}{T} = \frac{\frac{1}{r}\left( r\left( \frac{1}{r}\left( rR' \right)' \right)' \right)'}{R} - \frac{2m^2}{r^2}\frac{R''}{R} + \frac{m^4}{r^4} + \frac{2m^2}{r^3} \frac{R'}{R} - \frac{4m^2}{r^4} $$ por lo que tenemos que resolver el siguiente problema de contorno $$ \frac{1}{r}\left( r\left( \frac{1}{r}\left( rR' \right)' \right)' \right)' - \frac{2m^2}{r^2}R'' + \frac{2m^2}{r^3} R' + \frac{m^4-4m^2-\lambda^4 r^4}{r^4}R = 0,\\ |R(0)| < \infty,\quad |R'(0)| < \infty,\quad R(1) = 0,\quad R'(1) = 0. $$ Enchufando $R(r) = Z(\lambda r), \rho = \lambda r$ da la misma ecuación, pero sin $\lambda$ $$ \frac{1}{\rho}\left( \rho\left( \frac{1}{\rho}\left( \rho Z' \right)' \right)' \right)' - \frac{2m^2}{\rho^2}Z'' + \frac{2m^2}{\rho^3} Z' + \frac{m^4-4m^2-\rho^4}{\rho^4}Z = 0,\\ |Z(0)| < \infty,\quad |Z'(0)| < \infty,\quad Z(\lambda) = 0,\quad Z'(\lambda) = 0 $$ Wolfram Mathematica da $$ Z(\rho) = C_1 I_{-m}(\rho) + C_2 J_{-m}(\rho) + C_3 I_m(\rho) + C_4 J_m(\rho). $$ Suponiendo que $J_{-m}, I_{-m}$ son los ilimitados en $\rho = 0$ soluciones a la ecuación de Bessel y a la ecuación de Bessel modificada, la única posibilidad que tenemos es $$ Z(\rho) = C_3 I_m(\rho) + C_4 J_m(\rho) = C \left[\sin \phi\, I_m(\rho) + \cos \phi\, J_m(\rho)\right]. $$ Ahora tenemos que encontrar ese par $\phi, \lambda$ así que $$ \sin \phi I_m(\lambda) + \cos \phi J_m(\lambda) = 0\\ \sin \phi I_m'(\lambda) + \cos \phi J_m'(\lambda) = 0\\ $$ o, en otras palabras $$ W(\lambda) = \operatorname{det} \begin{pmatrix} I_m(\lambda) & J_m(\lambda)\\ I_m'(\lambda) & J_m'(\lambda) \end{pmatrix} = 0. $$
Por ejemplo, tomar $m = 1$ y resolver $W(\lambda) = 0$ da numéricamente $$ \lambda_1 \approx 4.6108998790490558273\\ \lambda_2 \approx 7.7992738008112319023\\ \lambda_3 \approx 10.958067191919497803\\ \vdots $$ Tomemos $\lambda = \lambda_1 \approx 4.6108998790490558273$ . La solución correspondiente a la $$ \sin \phi I_m(\lambda) + \cos \phi J_m(\lambda) = 0\\ \sin \phi I_m'(\lambda) + \cos \phi J_m'(\lambda) = 0\\ $$ es $$ \phi = 0.0152149896210699406. $$ Tenga en cuenta que $I_m(z)$ tiende a infinito muy rápidamente, por lo que $\phi \ll 1$ .
Entonces las soluciones son $$ u(r, \theta, t) = e^{-\lambda^4 t} {\cos m \theta \choose \sin m \theta} \left( \cos \phi J_m(\lambda r) + \sin \phi I_m(\lambda r) \right) $$
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La derivación más sencilla de la $Z(\rho)$ viene dado por lo siguiente: dejemos que $\Delta^2 u = \lambda^4 u$ . Entonces es equivalente al sistema $$ \Delta v = \lambda^2 u\\ \Delta u = \lambda^2 v. $$ Sumando y restando se obtiene $$ \Delta (u+v) = \lambda^2 (u + v)\\ \Delta (u-v) = -\lambda^2 (u - v). $$ Así, $u + v$ puede expresarse en términos de $(C_1 J_n(\rho) + C_2 Y_n(\rho))e^{in\theta}$ y $u - v$ puede expresarse en términos de $(C_3 I_n(\rho) + C_4 K_n(\rho))e^{in\theta}$ . Tirar a la basura $K_n$ y $Y_n$ da la misma expresión que la anterior.
