¿Puede alguien proporcionar un diffeomorphism entre estas "esferas": $\mathbb{S}^2$ y ${(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^4+y^2+z^2=1}$?
PD: Si conoces a un resultado que puede resolver este problema, estaría contento de saber.
Respuesta
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S.L.H
Puntos
56
El problema es $sign(x)\sqrt{x}$ $sign(x)x^2$ no son estrictamente hablando diffeomorphisms de $[-1,1]$ $[-1,1]$desde el diferencial a las $x=0$ no existe o se desvanecen.
Esto se puede arreglar mediante la partición de la unidad. Tomar la propuesta de mapa de $g: (x,y,z)\mapsto(sign(x)\sqrt{x},y,z)$ en el dominio donde se $|x|>1/4$.
Y en $|x|<1/2$ el mapa de proyección $h: (x,r,\theta)\mapsto(x,r'=\sqrt{x^2-x^4+r^2},\theta)$ (aquí la obvia $(y,z)$ en coordenadas polares $(r,\theta)$ es utilizado).
Estos dos mapas se puede conectar usando una partición de la unidad $f=\lambda g + (1-\lambda) h$ donde $\lambda$ es una función suave $\lambda:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\lambda=1$ $|x|\ge 1/2$, $\lambda=0$ para $|x|\le 1/4$.
