Un entero cuando se divide por $5$ $13$ deja residuos $4$ $7$ respectivamente

Question

Encontrar un entero cuando se divide por $5$ $13$ deja residuos $4$ $7$ respectivamente. (Sin Aritmética Modular).

No sé si es lo correcto, pero tengo este $$n=5x+4=13y+7$$

$$n=5(x-11)+59=13(y-4)+59$$ El $LCD(5,13)=65$

Así que nuestro número es el número de todos como $n=65k+59$

Estaré encantado si me ilumine. Cómo había u resolverlo ?

Answer 1

${\bf Brute\ force}:\ \ 5\,\Bbb Z+\color{green}4 = \{\ldots, \color{#c00}{-6},-1,\color{green}4,9,13,\ldots\}$

$\qquad\qquad\qquad\ \ 13\Bbb Z+\color{orange}7 = \{\ldots, \color{#c00}{-6},\color{orange}7,20,\ldots\}\,\ $ $\,\ n\equiv \color{#c00}{-6}\pmod{65 = \rm{lcm}(5,13)}\ $

$\bf Algorithmically,$ el uso de la CRT

$\quad\,\ {\rm mod}\ 5\!:\,\ n \equiv 4\equiv 7\!+\!13y \equiv 2\!-\!2y\iff 2\equiv -2y\iff \color{#0a0}{y\equiv -1}$

$\quad$ , por lo que su verdadero iff $\ n = 7\!+\!13y = 7 \!+\! 13(\color{#0a0}{-1\!+\!5k}) = -6+65k,\ k\in\Bbb Z$

Answer 2

$5x - 13y = 7-4 = 3 \Rightarrow 5x = 15y + 3 - 2y \Rightarrow x = 3y + \dfrac{3-2y}{5} \Rightarrow 5\mid 3-2y \Rightarrow 3-2y = 5k \Rightarrow y = \dfrac{3-5k}{2} = \dfrac{3-k}{2} - 2k \Rightarrow 2\mid 3-k \Rightarrow 3-k = 2h \Rightarrow k = 3-2h \Rightarrow 3 - 5k = 3 - 5(3-2h) = -12 + 10h \Rightarrow y = \dfrac{3-5k}{2} = \dfrac{-12+10h}{2} = 5h-6 \Rightarrow n = 13y+7 = 13(5h-6)+7 = 65h-71 = 65(h-1) - 6 = 65t-6 = 65(t-1) + 59=65m+59, m \in \mathbb{Z}$

Answer 3

Sugerencia: Utilice la inspección : $5x = 13 y + 3 \\ 13(1) + 3 = 16 \\ 13(2) + 3 = 29 \\ 13(3) + 3 = 42 \\ 13(4) + 3 = 5(11) \quad\tilde \\ \, por tanto \forall k\in\mathbb Z: 5 (11+13k) = 13(4+5k) +3 \\[2ex] {\forall k\in\Bbb Z, \existe n\in\Bbb Z: \underline{\quad n = 59 + 65 k\quad}} $

Answer 4

Tenga en cuenta que $13\times 2=26\equiv 1 \mod 5$

y $5\times 8=40\equiv 1 \mod 13$

De modo que $26x+40y \equiv x \mod 5; \equiv y \mod 13$, de modo que podemos poner a $x=4, y=7$ obtener $104+280=384$ como una solución. Podemos obtener otras soluciones ajustando por un múltiplo de $65$ - $390$ es obvio dándole $-6$ y, a continuación, $59$ mediante la adición de $65$.

El mérito de este método, que se relaciona estrechamente con el Teorema del Resto Chino (y Lagrange por la Interpolación de polinomios) es que proporciona una solución automática los valores de $x$ $y$ se dan.

Answer 5

La pregunta para cualquier número entero, así que tenga en cuenta que $2\cdot13-5\cdot5=1$, ahora $13$ divide $1+5\cdot5$ $5$ divide $1-2\cdot3$, por lo que $$4(1+5\cdot5)+7(1-2\cdot13)=4\cdot26-7\cdot25=-71$$ es un ejemplo de este tipo entero.