¿Es periódico un monoide finitamente generado por matrices periódicas?

Question

Esta pregunta está un poco relacionada con este -- de hecho, quería preguntar lo siguiente:

Dejemos que $\mathcal{M}_n$ sea el monoide multiplicativo de $n \times n$ matrices en $\mathbb{N}$ (incluyendo $0$ ). Sea $M_1, \ldots, M_k \in \mathcal{M}_n$ y supongamos que el monoide generado por cada uno de ellos es finito. ¿Es el monoide generado por todo de ellos periódico (es decir, tal que cualquiera de sus elementos genera un monoide finito)?

Espero haber acertado esta vez. Perdón por el ruido.
Gracias.

Answer 1

De hecho, el uso de los dos ejemplos en su comentario proporciona un contraejemplo.

Dejemos que $A = \begin{bmatrix} 1 & 0\\1&0\end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix}0&2\\0&0 \end{bmatrix}$ .

Como usted menciona, $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ así que $A$ genera un monoide finito. Igualmente, $B^2$ es el $0$ matriz por lo que esto genera un monoide finito.

Sin embargo, el monoide generado por $A$ y $B$ no es periódico: el elemento $BA = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$ no genera un monoide finito ya que $(BA)^n = \begin{bmatrix} 2^n & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}$ que es distinto para cada $n$ .

Answer 2

En general, para cualquier $n\gt 1$ las matrices $$A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right)\quad\text{and}\quad B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right)$$ son cada uno idempotente, por lo que cada uno genera un monoide finito, pero ninguno de ellos $$AB = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 1 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{array}\right)\quad\text{nor}\quad BA = \left(\begin{array}{cccc} n & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right)$$ son periódicas.

Answer 3

Dejemos que $A$ sea un elemento de $\mathcal{M}_n$ tal que $A$ es periódica. Entonces $A^\mathrm{T}$ también es periódica. Sin embargo, $AA^\mathrm{T}$ es periódica si y sólo si cada entrada no nula de $A$ es $1$ y cada fila y columna de $A$ tiene como máximo una entrada no nula.

Supongamos que $A=(a_{ij})$ y $a_{i_0j_0}\gt1$ para algunos $i_0$ y $j_0$ . Si $AA^\mathrm{T}=(b_{ij})$ entonces $b_{i_0i_0}\geq a_{i_0j_0}^2\gt1$ . En particular, esto implica que la norma euclidiana de $AA^\mathrm{T}e_{i_0}$ es mayor que $1$ , donde $e_{i_0}$ es el $i_0^\text{th}$ vector de base estándar. Dado que $AA^\mathrm{T}$ es semidefinido positivo, lo que implica que su radio espectral es mayor que $1$ y, por tanto, sus potencias tienen un radio espectral ilimitado.

Supongamos que $a_{i_0j_0}\gt0$ y $a_{i_0j_1}\gt0$ para algunos $i_0$ y $j_0\neq j_1$ . Entonces $b_{i_0i_0}\geq a_{i_0j_0}^2+a_{i_0j_1}^2\gt1$ lo que implica de nuevo que las potencias de $AA^\mathrm{T}$ tienen un radio espectral ilimitado.

Supongamos que $a_{i_0j_0}\gt0$ y $a_{i_1j_0}\gt0$ para algunos $i_0\neq i_1$ y $j_0$ . Entonces $b_{i_0i_0}\geq a_{i_0j_0}^2\gt0$ y $b_{i_1i_0}\geq a_{i_1j_0}a_{i_0j_0}\gt0$ . Esto implica que la norma euclidiana de $AA^\mathrm{T}e_{i_0}$ es al menos $\sqrt{2}$ . Así, de nuevo, los poderes de $AA^\mathrm{T}$ tienen un radio espectral ilimitado.

Por otro lado, si cada entrada no nula de $A$ es $1$ y cada fila y columna de $A$ tiene como máximo una entrada no nula, entonces $AA^\mathrm{T}$ es idempotente.