convergencia en media cuadrada implica convergencia de la varianza

Question

Necesito algunos consejos para la siguiente pregunta:

Supongamos que $X,X_1,X_2, \cdots \in L^2(\Omega)$ son variables aleatorias que convergen en la Plaza de la media. Mostrar que $Var[X_n] \rightarrow Var[X]$.

Convergencia en media cuadrada implica que $n \rightarrow \infty$ tenemos que $\mathbb{E}[(X_n-X)^2] \rightarrow 0$.

He intentado utilizar la definición de varianza $Var[X]=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2$ y tratando de probar que el $|Var[X_n]-Var[X]|\leq \mathbb{E}[(X_n-X)^2]$ pero yo no obtener ningún resultado.

Answer 1

Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos ese $$ | \operatorname E (X_n-X) | \le\bigl(\operatorname E| X_n-X | ^ 2\bigr) ^ {1/2} \to0 $$ y $\operatorname EX_n\to\operatorname EX$. También tenemos que $\operatorname EX_n^2\to\operatorname EX^2$ con la continuidad de la norma $(\operatorname E|X|^2)^{1/2}$ $L_2(\Omega)$. Por último, $$ \operatorname{Var}X_n=\operatorname EX_n ^ 2-(\operatorname EX_n) ^ 2\to\operatorname EX ^ 2-(\operatorname EX) ^ 2 = \operatorname {Var} X. $$